6 IIR 模拟低通滤波器的设计

第6章无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法6.1基本概念6.2常用模拟低通滤波器的设计方法6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器6.4用双线性变换法设计IIR数字滤波器6.1基本概念6.1.1数字滤波器(DF)的基本概念功能：通过数值运算，改变频率成分或滤除某些频率x(n)h(n)y(n)nmnxmhnhnxny)()()()()()()()(jjjeHeXeY6.1.2数字滤波器(DF)的分类1）经典滤波器：选频现代滤波器：维纳滤波器，卡尔曼滤波器等2）从h(n)长度分：IIR滤波器（M≤N）FIR滤波器01()1MiiiNiiibzHzaz10)()(NnnznhzH3）选频滤波器按功能分：h(n)n|H(ej)|c-c理想低通滤波器特性6.1.3数字滤波器的技术指标频率响应：幅频特性：通过该滤波器后各频率成分的衰减情况相频特性：各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况()()|()|jjjHeHee|()|jHe()10通带过渡带阻带)|(je|Hps2d1d1s:阻带截止频率d1:通带波动幅度d2:阻带波动幅度p:通带截止频率理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近（以低通为例）阻带:通带：10||1|()|1jpHed2|||()|jsHed01max|()||()|20lg20lgmin|()||()|20lg|()|20lg(1)ppjjpjjjHeHeHeHeHed式中，|H(ej0)|=1(已被归一化)(dB)(dB)通带允许的最大衰减：阻带应达到的最小衰减02|()|20lg|()||()|20lg20lg|()|20lg|()|ssjsjjjjHeHeHeHeHed通带中max阻带中max10通带过渡带阻带)|(je|Hps2d1d1•过渡带：一般单调下降•特殊点：•此时衰减s||p2|()|0.7072cjHe220lg|()|20lg32cjHedB110通带过渡带阻带)(jeHps2d1dc0.707c:3dB通带截止频率p，s：统称为边界频率c，6.1.4IIR滤波器的设计方法给定DF的性能参数目标：设计滤波器的系统函数H（z）1）间接法：H(z)脉冲响应不变法Wp,Wsp,sHa(s)频率变换设计模拟滤波器双线性变换法2）直接法：计算机辅助设计法确定各系数ak,bk，以使滤波器满足给定的性能要求MkNkkkknyaknxbny01)()()(NkkkMkkkzazbzH101)(1）间接法：H(z)脉冲响应不变法Wp,Wsp,sHa(s)频率变换设计模拟滤波器双线性变换法6.2模拟低通滤波器的设计常用的模拟原型滤波器有：•巴特沃思（Butterworth）滤波器•切比雪夫（Chebyshev）滤波器•椭圆（Ellipse）滤波器•贝塞尔（Bessel）滤波器等各种理想模拟滤波器的幅频特性oW低通oW带通oW带阻Wo高通)j(aΩH)j(aΩH)j(aΩH)j(aΩH6.2.1模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法•设计指标：()aht单位冲激响应(s)aH系统函数(j)aHW频率响应函数(s)(j)(j)(s)|staaajtaaaaasjHedtHFTedtHHWWWW=LT[h(t)]=h(t)[h(t)]=h(t)|Ha(jΩ)|频率响应的幅度特性•实际模拟低通滤波器示意图01|()|20lg20lg|()|20lg(1)|()|ppjjpjHeHeHedWWW110通带过渡带阻带)|(Wje|HpWsW2d1dWc0.707通带允许的最大衰减：阻带应达到的最小衰减02|()|20lg20lg|()|20lg|()|ssjjsjHeHeHedWW•特殊点：2|()|0.7072cjHeW220lg|()|20lg32cjHedBWWc:3dB截止频率•例：设计指标参数为：5pdBWp=25103rad/sWs=2104rad/sW110通带过渡带阻带)(WjeHpWsW2d1dWc0.70720sdB•逼近方法)()(|)(|*2WWWjHjHjHaaaha(t)是实函数，Ha(jΩ)共轭对称)()(*WWjHjHaaWWWWjsaaaaasHsHjHjHjH|)()()()(|)(|2|Ha(jΩ)|2Ha(s)原则：•Ha(s)必须是因果稳定的•Ha(s)极点必须落在s平面的左半平面•Ha(-s)的极点必须落在s平面的右半平面WWWWjsaaaaasHsHjHjHjH|)()()()(|)(|26.2.2巴特沃思低通滤波器的设计1）设计原理NcajH22)/(11|)(|WWW（6.2.7）•N为正整数，代表滤波器的阶数。•当Ω=0时，|Ha(j0)|=1；•当Ω=Ωc时，不管N为多少•Ωc为3dB截止频率|(|1/20.707acHjW•Ω由0增大，|Ha(jΩ)|单调减小•N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄，与理想低通滤波器越接近代入Ω=s/jNcaajssHsH211)()(W求出Ha(s)Ha(-s)的极点1211222(1)()kjNNkccsjeWWNcajH22)/(11|)(|WWWk=0，1,2,…,2N-1WWWWjsaaaaasHsHjHjHjH|)()()()(|)(|2极点分布特点：•2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃思圆）上•极点间的角度间隔为π/Nrad。1211222(1)()kjNNkccsjeWWk=0，1,2,…,2N-1•例：N=3，极点2N=6个•极点分别为：1211222(1)()kjNNkccsjeWW242333012517123333345jjjjcccccjjjjjccccccseseseeseeseseeWWWWWWWWWWW4s5s0s1s2s3sk=0，1,2,…,2N-1•Ha(s)的表示式10()()NcaNkkHsssW•Ha(s)必须是因果稳定的•Ha(s)极点必须落在s平面的左半平面•Ha(-s)的极点必须落在s平面的右半平面1211222(1)()kjNNkccsjeWWNcaajssHsH211)()(W•系统函数为：242333012517123333345jjjjcccccjjjjjccccccseseseeseeseseeWWWWWWWWWWW31012032233()()()()()()()()NccaNkkcjjcccHssssssssssseseWWWWWW4s5s0s1s2s3s2.BWLP滤波器的设计步骤(1)给定技术指标：(2)确定阶数N：,,,pspsWW20lg|()|,20lg|()|papsasHjHjWW221|()|1()aNcHjWWW又0.121()10sNscWW0.121()10ppNcWW0.121()10ppNcWW0.121()10sNscWWss0.10.10.10.1101()101101,,101lglgppNspsspsppspspkkNWWWW令则If：N是小数，取大于或等于N的最小整数(3)确定滤波器的3dB截频Ωc0.121()10sNscWW0.121()10ppNcWW10.12(101)sNcsWW10.12(101)pNcpWW(4)确定滤波器的极点(5)确定模拟低通滤波器的系统函数Ha(s)10()()NcaNkkHsssW1211222(1)()kjNNkccsjeWW101()()aNkckccsGssWWW10()()NcaNkkHsssW11110011()bbpb()aNNNNkkGppppp对系统函数归一化处理1211212222kkkk,ckjkNjNcccsppespppeWWWW令为归一化复变量，为归一化极点，查表6.2.1法2：查表法()()|caaspHsGpW法2.BWLP滤波器的设计步骤(1)确定技术指标：(2)确定阶数N：,,,pspsWWlglgspspkNs0.10.1101,,101psspsppkWW(3)确定滤波器的3dB截频Ωc10.12(101)sNcsWW10.12(101)pNcpWW(4)查表6.2.1：确定归一化系统函数Ga(p)(5)去归一化，确定模拟低通滤波器的系统函数Ha(s)()()|caaspHsGpW11110011()bbpb()aNNNNkkGppppp例6-1设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：(1)通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：ap=7dB。(2)阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：as=16dB。1.60.71lg[(101)/(101)]2.7932lg(0.3/0.2)Ns0.10.1lglg101,,101pspspsspsppkNkWW解：步骤1）60.70.20.4985101cW10.12(101)pNcpWW例6-1设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：(1)通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：ap=7dB。(2)阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：as=16dB。步骤2）N=3步骤3）设计一个N=3和Ωc=0.5的巴特沃思滤波器，查表6.2.12221()()|(21)(421)0.125(0.5)(0.50.25)aapsHsGpssssss21()(1)(1)aGpppp()()|caaspHsGpW例设模拟滤波器的系统函数为3111342)(2sssssHa试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)解:数字滤波器的系统函数为13131132411()()111()TTTTTTTzeeHzezezzeeze则有21101831.04177.013181.0)(zzzzH设T=1sT=1s222()()|340.3181()()|10.41770.01831jaasjjjjjzeHjHsjeHeHzeeWWWW（）22()43aHsss21101831.04177.013181.0)(zzzzH/T2/TW2)j(aΩH)(ejHoo脉冲响应不变法的映射关系2()sTjMTsTTjTTTzesjzeeeeeWWW－3－2……)j(aΩHWoo－23＝WT)(ejHTπ2TπTπTπ2－12()jakHeHjjkTTW设想oooWW)j(aΩH)(ejHWWooo)](earg[jH)]j(arg[aΩHWWcWsWsc2tan()2TW|)(|WjH|)(|jeH低通滤波器