第二章-画法几何(新版)

§2－1点的投影§2－2直线的投影§2－3平面的投影§2－4线面相对位置第二章画法几何§2－5投影变换§2－6曲线、曲面和立体§2－7平面与立体相交§2－8两立体相交§2－9轴测投影•点的两面投影•点的三面投影•特殊点的投影•投影与坐标的关系•两点间的相对位置•重影点及其可见性•点的单面投影a’aozYXVWaxazayAa”§2－1点的投影•例题一、点的单面投影AaHB•若已知一个空间点，则在给定的投影面上，可以得到该点唯一的投影。•若已知点的一个投影，则不能确定该点的空间位置。(b)AaoXHVa’aVHa’ax两面投影规律：•两投影连线垂直于投影轴；即：aa’⊥OX。•点的一投影到投影轴的距离等于该空间点到另一投影面的距离。即a’ax=Aa；aax=Aa’。axXo二、点的两面投影三面投影规律：•相邻两投影垂直相应投影轴；即：a’a⊥ox;a’a”⊥oz;aay⊥oyH;a”ay⊥oyW;•点到某一投影面的距离等于该点另外两投影到相应投影轴的距离；即：Aa”=a’az=aay；Aa’=aax=a”az；Aa=a’ax=a”aya׳aoXHVZYWaxazayAa׳aXoZYHYWa״a״三、点的三面投影投影面上的点投影轴上的点XOXVa”YYHYwHOZWa”aaBbb’b”Dd’d”dZd’d”db’bb”Cc”cc’c’c”c四、特殊点的投影Aa’a’：其中一个投影与自身重合，另外两个投影位于投影轴上。：其中两个投影与自身重合，第三个投影位于投影原点。a’aXoZYHYWa”a’aozYXVWaxazayAa”设空间点坐标为A(X,Y,Z)，则：X＝a′az＝aay（空间点A到W面的距离）Y＝aax＝a″az（空间点A到V面的距离）Z＝a′ax＝a″ay（空间点A到H面的距离）五、点的投影与坐标关系axazayayXVZHAaa’a”OZYWBbb’b”a’aa”bb’b”△Y△X△Z△YZXYHYW六、两点相对位置Ya’aa”(b)b’b”XVZHAaa’a”ZWB(b)b’b”七、重影点及其可见性a′aa″b′bb″c′cc″XYHZYW【例题1】已知点的两个投影，求第三投影。a′aa″b′bb″Y=20Z=10X=35△X=20△Z=15△Y=10【例题2】已知点A的坐标为A(35,20,10)，点B位于A点的右边20、上方15、后方10，求作A、B两点的投影。•直线的投影•直线上的点•直线的真长及其倾角•两直线相对位置•一边平行于投影面的直角投影规律§2－2直线的投影ABabαβγb″a′b′ZXYa″VHWOHABbaCDcdEFe(f)直线的投影特性：一般来说，直线的投影仍然为直线。当直线垂直于投影面时，直线的投影则积聚为一点。一般位置直线投影面平行线投影面垂直线——直线与三个投影面均倾斜。——直线平行于其中的一个投影面，倾斜于另外两个投影面。——直线垂直于某一投影面。一、直线的投影直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：水平线直线平行于H面，倾斜于V、W面。正平线直线平行于V面，倾斜于H、W面。侧平线直线平行于W面，倾斜于H、V面。投影面平行线aa″a′b′Bb″AβγbZXYa′b′AabαBa″b″βZXY水平线侧平线正平线a′b′AabαBa″b″γZXY1、投影面平行线水平线的投影特性：1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为β；与OY轴的夹角为γ；α=0°。2.水平线的V投影a′b′∥OX；W投影a″b″∥OY；反映真长TLa′b′b″a″baβγYHYWXZaa″a′b′Bb″AβγbZXY投影面平行线——水平线正平线的投影特性：1、正平线的V投影反映真长，真长投影与OX夹角为α；与OZ轴的夹角为γ;β=0°。2、正平线的H投影ab∥OX；W投影a″b″∥OZ；反映真长TLa′b′b″a″baγαYHYWXZa′b′AabαBa″b″γZXY投影面平行线——正平线反映真长TLa′b′b″a″baαβYHYWXZ侧平线的投影特性：1.侧平线的W投影反映真长，真长投影与OY夹角为α；与OZ轴的夹角为β；γ=0°。2.侧平线的V投影a′b′∥OZ；H投影ab∥OY；a′b′AabαBa″b″βZXY投影面平行线——侧平线按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线可分为：铅垂线直线垂直于H面，平行于V、W面。正垂线直线垂直于V面，平行于H、W面。侧垂线直线垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直线a′b′A(a)bBa″b″ZXYa′(b')Bb″Aaba″ZXYa′b′AabBa″(b″)ZXY铅垂线侧垂线正垂线2、投影面垂直线a′b′b″a″b(a)YHYWXZ铅垂线投影特性：1、铅垂线的H投影积聚为一点；2、铅垂线的V、W投影反映直线真长，且平行于OZ轴。a′b′A(a)bBa″b″ZXY投影面垂直线——铅垂线b″a″a(b′)ba′YHYWXZa′(b′)Bb″Aaba″ZXY正垂线投影特性：1、正垂线的V投影积聚为一点；2、正垂线的H、W投影反映直线真长，且平行于OY轴。投影面垂直线——正垂线a′b′（b″）a″baYHYWXZa′b′AabBa″(b″)ZXY侧垂线投影特性：1、侧垂线的W投影积聚为一点；2、侧垂线的V、H投影反映直线真长，且平行于OX轴。投影面垂直线——侧垂线bcb’c’a”b”c”βαab=40c”b”=30aa’【例题1】已知△ABC的边AB为水平线，AB=40mm,β=30°，B点位于A点的右前方;BC为侧平线,BC=30mm,α=60°;且C点位于B点后上方，求作此△ABC的投影。a′b′b″a″baYHYWXZ一般线的投影特性：一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，也不反映直线与投影面的倾角。ABabαβγa″b″a′b′ZXY3、一般位置线直角三角形法一条直角边——线段投影长度另一直角边——线段的坐标差则：斜边即为真长，其与投影间的夹角即为直线段与该投影面的倾角。ABabαβγb″a′b′ZXYa″AB真长αAB真长βaba′b′△ZAB△YAB二、一般线的真长与倾角aba′b′XOΔZAB=ΔZABC在AB上量取AC=25mmcc′BA【例题1】试在直线AB上其一点C，使AC=25mm，求点C的投影。量取△YAB△YABa′b′ab【例题2】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，B点位于A点右前方，求AB的H投影。a′b′ab△YAB量取△YABβ【例题3】已知直线AB的V投影，且β=30°，B点位于A点右前方，求AB的H投影。a′b′abαΔzAB直线的H投影长以直线的H投影长为半径，作圆弧直线AB真长【例题4】已知直线AB的V投影，且α=30°，B点位于A点右前方，求AB的H投影。ABCa(b)EFDedf直线上点的投影特性:1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：ED:DF=ed:df=e′d′:d′f′=e″d″:d″f″(c)三、直线上的点a′b′abk′kk″a″b″XZYHYWOK点在直线AB上【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？结论：点是否在直线上？对于一般位置线而言，其任意两投影满足从属性，则第三投影必定满足。K点不在直线AB上XYHYWZa′b′abk′ka″b″k″O【例题2】判断点K是否在直线AB上。结论：点是否在直线上？对于投影面平行线而言，必须检查反映直线真长的投影是否满足从属性。aba′b′C′cXO【例题3】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。两直线的相对位置两直线交叉两直线相交两直线平行四、两直线的相对位置两直线平行的投影特性：两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即：AB∥CD，则：ab∥cd；a’b’∥c’d’；a”b”∥c”d”。xob´aa´d´bbcc´xob´a´abdc´d´cABCD1、两直线平行两直线相交的投影特性：两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。Ob´Xa´abk´c´d´dck2、两直线相交xoBDACKbb´aa´c´cdd´k´kHVOb´Xa´abc´d´dc11´(2´)2两直线交叉的投影特性：既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉。3、两直线交叉XOBDACbb´aa´c´cdd´ⅡⅠ1´(2´)21HVXa´ac´d´dcbb´od˝c˝a˝b˝YWYHZ两直线交叉【例题1】判断两直线的相对位置（方法一）cbOa´ac´d´db´X1=1´d´=1´c´两直线交叉【例题2】判断两直线的相对位置(方法二）1´d´e´f´fec´a´abcd(b´)(k´)l´lk作k´l´∥e´f´作kl∥ef【例题3】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF。cOXb´a´c´ba直角投影规律：空间两直线垂直相交，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。AHBCcba五、一边平行于投影面的直角投影BHACcbaMNnmOXb´a´bamnn´m´仍然遵循一边平行于投影面的直角投影规律。两直线交叉垂直e´f´efa´abb´cc´量取bc=30mm【例题1】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。aa´bb´c´d´c(d)n´m´m两交叉线间距离(n)【例题2】求两直线AB、CD之间的公垂线MN及其距离。cc´kk´aba´b´垂线KC的真长△ZKC△ZKC【例题3】求点K到直线AB的距离。a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半对角线长【例题4】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。§2－3平面的投影一、平面的表示方法二、各种位置平面a´b´BACaccabXHYVZWb三、平面上的点和直线1、用几何元素表示平面2、用迹线表示平面ZXYHVWPHPVPWPa´b´BACaccabXHYVZWb一、平面的表示方法cXOaba′b′c′XOabca′b′c′(1)不在同一直线上的三点(2)一直线和线外一点(3)两相交直线(4)两平行直线d′XOacda′c′bb′cXOaba′b′c′(5)平面图形XOabca′b′c′1、用几何元素表示平面ZXYHVWPHPVPWPZXYHVWQPPHQVQWPVPHPWZYHXYWOYHXYWZOPHQVQW2、用迹线表示平面平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面侧平面对H、V、W面均倾斜⊥H面，对V、W面均倾斜⊥V面，对H、W面均倾斜⊥W面，对H、V面均倾斜∥H面，⊥V面，⊥W面∥V面，⊥H面，⊥W面∥W面，⊥H面，⊥V面二、各种位置平面xYVHzWo铅垂面的投影特性：1、水平投影abc积聚为一条线，积聚线与OX、OY夹角反映了平面与V、W面的、角，其α=90゜；2、a′b′c′和a″b″c″为ABC的类似形;a′b′a″b″baoZYHYWcc″c′XPPHABCacbYWYHZXPH迹线平面表示PVPWβγ投影面垂直面——铅垂面YWYHZXPH正垂面的投影特性：1、平面的正面投影a’b’c’积聚为一条线；积聚线与投影轴的夹角反映了平面的α、角，其=90。2、abc、a”b”c”为ABC的类似形;zxa′b′a″b″baoYHYWαc″c′cXZYVWHoQVAc′Ca′b′BQVαγQWQHYHYWXZO迹线平面表示投影面垂直面——正垂面QVYHYWXZOXZYVHWO侧垂面的投影特性：1、侧面投影a”b”c”积聚为一条线；积聚线与投影轴的夹角反映了平面的α、β角，其=90゜；2、abc、a’b’c’为ABC的类似形；SHSBCa″b″Ac″YWXa′b′b″baoYHa″αβcc′c″ZSWSHSVαβYHYWZXO迹线平面表示投影面垂直面——侧垂面SWYHYWZXOXZYVWHOPPVPW水平面的投影特性：1、a’b’c