吉林大学高数BII作业答案.2012-2013-2(一)

高等数学作业答案BⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月1第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．22003limxyxyxy（D）．（A）32；（B）0；（C）65；（D）不存在．2．二元函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf在)0,0(处（C）．（A）连续，偏导数存在；（B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在；（D）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)fxyyxxy，在下列求(1,2)xf的方法中，不正确的一种是（B）．（A）因2(,2)2(1),(,2)4(1)xfxxfxx，故1(1,2)4(1)|0xxfx；（B）因(1,2)0f，故(1,2)00xf；（C）因2(,)2(1)(2)xfxyyxy，故12(1,2)(,)0xxxyffxy；（D）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)limlim011xxxfxfxfxx．4．若(,)fxy的点00(,)xy处的两个偏导数都存在，则（C）．（A）(,)fxy在点00(,)xy的某个邻域内有界；（B）(,)fxy在点00(,)xy的某个邻域内连续；（C）0(,)fxy在点0x处连续，0(,)fxy在点0y处连续；（D）(,)fxy在点00(,)xy处连续．25．设22(,),2zzfxyy，且(,0)1,(,0)yfxfxx，则(,)fxy为（B）．（A）21xyx；（B）21xyy；（C）221xyy；（D）221xyy．二、填空题1．2224ln(1)xyzxy的定义域为2224,01yxxy．2．0011limxyxyxy1/2．3．设22),(yxyxyxf，则)4,3(xf2/5，)4,3(yf1/5．4．设ln(32)uxyz，则du3232dxdydzxyz．5．设yzx，则2zxy11lnyxyx．三、计算题1．已知(2)zyfx，且当1y时zx，求()ft及z的表达式．将1,yzx代入，12xfx有21fxx解一：222423fxxx∴243fttt解二：令2tx，则22xt∴221ftt∴22211zyxyx2．讨论函数2222222,0,(,)0,0xxyxyfxyxyxy的连续性．.解一：当,pxy沿y轴(x=0)趋于0（0，0）时，322220000limlim0xyyxxyxyy当,pxy沿yx，趋于0（0，0）时，222220002limlim12xxyxxxyxxyx∴00lim,xyfxy不存在∴不连续解二：当,pxy沿ykx趋于0（0，0）时，222222200011limlim11xxykxkxxxykxykkx与k有关，∴不连续3．设(1)yzxy，求dz．11211yyzyxyyyxyx解一：取对数lnln1zyxy1ln11zxxyyzyxy，∴1ln11yzxyxyxyyxy解二：ln1ln1e,eln111yyxyyxyzxxyyxyyxy∴12d1d1ln1+xyd1yyxzyxyxxyyxy4．求2edyztxzut的偏导数．t2200eexzyztudtdt22xzeuzx22yezuzy2222xyeezzuxyz5．设222rxyz，验证：当0r时，有2222222rrrxyzr．422222rxxxrxyz222223xrxrrxrxrr，同理：2222222323,rryrrzyrzr∴2222222222233322rxyxrrrrxyzrrr6．证明函数(,)||fxyxy在点(0,0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．（1）0，由于2202xyxyxy为使0xy，只须222xy，即222xy取2，则当220xy，有0xy，∴000lim,lim00,0xxyyfxyxyf（或：00lim00,0xyxyf），42,fxyxy初等函数连实。（2）,00,0,0xfxf；0,0,0,00yfyf（3）,0,00,0xyzxyzfxfyxy考察：22220000limlimxxyyxyxyxyxy当,pxy沿直线ykx趋于0（0，0）有2000limlim1xxykxkk与k有关∴上式不存在，不可微5第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．设22()yzfxy，其中()fu为可导函数，则zx=（B）．（A）2222()xyfxy；（B）222222()()xyfxyfxy；（C）22222()()yfxyfxy；（D）2222222()()()fxyyfxyfxy．2．设方程(,,)0Fxyyzzx确定z是x，y的函数，F是可微函数，则zx=（D）．（A）13FF；（B）13FF；（C）xzyzFFFF；（D）1323FFFF．3．设(,),(,),(,)xxyzyyzxzzxy都由方程(,,)0Fxyz所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（C）．（A）1xyyx；（B）1xzzx；（C）1xyzyzx；（D）1xyzyzx．4．设(,),(,)uuxyvvxy都是可微函数，C为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（A）．（A）0C；（B）()CuCu；（C）()uvuv；（D）()uvvuuv．65．()ufr，而222rxyz，且函数()fr具有二阶连续导数，则22ux2222uuyz(B)．（A）1()()frfrr；（B）2()()frfrr；（C）211()()frfrrr；（D）212()()frfrrr．二、填空题1．已知(1,2)4,d(1,2)16d4d,d(1,4)64d8dffxyfxy，则(,(,))zfxfxy在点（1,2）处对x的偏导数为192．2．由方程ezxyyzzx所确定的隐函数(,)zzxy在点（1,1）处的全微分为ddyx．3．22rxy在点（0,0）处沿x轴正向的方向导数为1．4．函数2222uxyzxyyz在点(1,2,3)处的方向导数的最大值等于21．三、计算与解答题1．设f是C(2)类函数，22(e,)xyzfxy，求2zxy．''''[1212e2e2xyxyzfyfxyfxfx2''''''''1111122122eeee22e2xyxyxyxyxyzfyxfyfxfyxfxfyxy'22211112221ee2e4xyxyxyxyfxyfxyfxyf2．设32(32)xyzxy，求dz．解一：dlnd32ln32,1dd3x-2yln3232dln32zxyxyzxyxyxyz32d32ln3213d2dyxyzxyxyx解二：,32,32vzuuxyvxy73213332ln321xyvxuxvxzzuzvvuxyxy321y2232ln321xyvuyvyzzuzvvuxyxy∴32d32ln3213d2dyxyzxyxyx3．设f，是C(2)类函数，xyzyfxyx，证明：（1）2220zzxyxxy；（2）2222220zzxyxy．证21zyyyfxfxyxx222222311zyyyyyffxyxxxxyx2222111zxyxyffxyyxxxxyx21zxxfyfxffyyxy222222311zxxxxxffffyyyyyxyx4．设22lnarctanyxyx，求22ddyx．''2222221122lnarctan,221yxyyxyyxxyxxyyx''2222xyyyxyxyxy∴()(),xyyxyxyyxy'''22222321122xyxyyxyxyyxyyxyxyyxyxyxyxy一阶：22222222112,lnarctan,221xyyxxyxFxyxyFxxyxyyx822222211221yyyxxFyxyxyx∴ddyFxxyxyxFyyxxy二阶：222'2'''11/1,yxyxyyyyyxyyyxyxy2222332xyxyxyxyxy5．设esin,ecos,uuxuvyuv求,uvxy．1dcosesincosesincos1,sindcosddsinecossinuuuxuvvuvDuvvDuvxuvyyuvvuv∴1sincosdddsincos1sincos1uDvvuxyDevveuvv∴sinesincos1uuvxvv2esindesindecosde-cosduuuuvxDvyvxvy∴2ucosedesinddesin-cos1uuvxvyDvDuvv∴esinesincos1uuvvyuvv6．设2(,,),(,e,)0,sinyufxyzxzyx，其中求f，是C(1)类函数，求ddux．22''''223,,,e,2,e,yzFxyzxxzFxxFyF∴''12''332e,yxzFxzFyxFzyFz'''''12123''332edcoscosdyxuffxfxx9''''sin'12312cos2ecosxffxfxx解二：全微分'''123'''123dddd2dedd0dcosdyufxfyfzxxyzyxx即'''231'''231ddd