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1高中数学竞赛讲义（十）──直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：2（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0,y0）到动点P（x,y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。5．到角与夹角：若直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=,tanα=.6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1,k2。且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。7．两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)间的距离公式：|P1P2|=。8．点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式：。9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1,l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0().10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0.若B0，则Ax+By+C0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C0表示的区域为l下方的部分。311．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。12．圆的标准方程：圆心是点(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为（θ为参数）。13．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)。其圆心为，半径为。若点P(x0,y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为①14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,i=1,2,3.则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、方法与例题1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。例1在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：∠ADB=∠CDE。4[证明]见图10-1，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。设点B，C坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点D坐标为（a,0）。直线BD方程为，①直线BC方程为x+y=2a，②设直线BD和AE的斜率分别为k1,k2，则k1=-2。因为BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直线AE方程为，由解得点E坐标为。所以直线DE斜率为因为k1+k3=0.所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。例2半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。[证明]以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直角坐标系见图10-2，设⊙D的半径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与AB，AC的交点分别为E，F，设半径为r，则直线AB，AC的方程分别为,.设⊙D的方程为(x-m)2+y2=r2.①设点E，F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则，分别代入①并消去y得所以x1,x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的两根。5由韦达定理，所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.所以|EF|=r。所以∠EDF=600。2．到角公式的使用。例3设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正ΔPQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。[证明]假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0x1x2x3.记∠RQP=θ，它是直线QR到PQ的角，由假设知直线QR，PQ的斜率分别为，由到角公式所以θ为钝角，与ΔPQR为等边三角形矛盾。所以命题成立。3．代数形式的几何意义。例4求函数的最大值。[解]因为表示动点P(x,x2)到两定点A(3,2),B(0,1)的距离之差，见图10-3，当AB延长线与抛物线y=x2的交点C与点P重合时，f(x)取最大值|AB|=64．最值问题。例5已知三条直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值。[解]记l1,l2,l3的方程分别为①，②，③。在①，③中取x=-1,y=0，知等式成立，所以A(-1,0)为l1与l3的交点；在②，③中取x=0,y=m+1，等式也成立，所以B(0,m+1)为l2与l3的交点。设l1,l2斜率分别为k1,k2,若m0，则k1?k2=,SΔABC=，由点到直线距离公式|AC|=，|BC|=。所以SΔABC=。因为2m≤m2+1，所以SΔABC≤。又因为-m2-1≤2m，所以，所以SΔABC≥当m=1时，（SΔABC）max=；当m=-1时，（SΔABC）min=.5．线性规划。例6设x,y满足不等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设a-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。7[解]（1）由已知得或解得点(x,y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2)f(x,y)是直线l:y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a-1，所以它过顶点C时，f(x,y)最大，C点坐标为（-3，7），于是f(x,y)的最大值为3a+7.如果-1a≤2，则l通过点A（2，-1）时，f(x,y)最小，此时值为-2a-1；如果a2，则l通过B（3，1）时，f(x,y)取最小值为-3a+1.6．参数方程的应用。例7如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。[解]设直线OP的参数方程为（t参数）。代入已知圆的方程得t2-t?2sinα=0.所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|.所以|t-2sinα|=|2-tsinα|.化简得t=2或t=-2或sinα=-1.当t=±2时，轨迹方程为x2+y2=4；当sinα=1时，轨迹方程为x=0.7．与圆有关的问题。8例8点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定ΔAT1T2垂心的轨迹。[解]见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1T2与OM的交点，记BC=1。以A为圆心的圆方程为x2+y2=16，连结OT1，OT2。因为OT2MT2，T1HMT2，所以OT2//HT1，同理OT1//HT2，又OT1=OT2，所以OT1HT2是菱形。所以2ON=OH。又因为OMT1T2，OT1MT1，所以ON?OM。设点H坐标为（x,y）。点M坐标为(5,b)，则点N坐标为，将坐标代入=ON?OM，再由得在AB上取点K，使AK=AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。例9已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：sin(α+β)是定值。[证明]过D作ODAB于D。则直线OD的倾斜角为，因为ODAB，所以2?,9所以。所以例10已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。[解]以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα)，由题设|AD|=|AB|=2sinα，这里不妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(cosα+2sinα,sinα)，所以|OD|==因为，所以当时，|OD|max=+1；当时，|OD|min=例11当m变化且m≠0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。[证明]由消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。设公切线方程为y=kx+b，则由相切有2|m|=，对一切m≠0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0对一切m≠0成立10所以即当k不存在时直线为x=1。所以公切线方程y=和x=1.三、基础训练题1．已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是__________.2．已知θ∈[0,π]，则的取值范围是__________.3．三条直线2x+3y-6=0,x-y=2,3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x,y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是__________.4．若三条直线4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是__________.5．若λ∈R。直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d__________.6．一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的四个截距的和为14，则此圆的方程为__________.7．自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，则光线l所在的方程为__________.8．D2=4F且E≠0是圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切的__________条件.119．方程|x|-1=表示的曲线是__________.10．已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为__________.11．已知函数S=x+y，变量x,y满足条件y2-2x≤0和2x+y≤2，