高中数学竞赛讲义(9)不等式

1高中数学竞赛讲义（九）──不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）aba-b0；（2）ab,bcac；（3）aba+cb+c；（4）ab,c0acbc；（5）ab,c0acbc;（6）ab0,cd0acbd;（7）ab0,n∈N+anbn;（8）ab0,n∈N+;（9）a0,|x|a-axa,|x|axa或x-a;（10）a,b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a,b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x,y,z∈R+，则x+y≥2,x+y+z前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为ab0,cd0，所以acbc,bcbd，所以acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与ab矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令2，因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。二、方法与例题1．不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明AB或AB时利用A-B与0比较大小，或把（A，B0）与1比较大小，最后得出结论。例1设a,b,c∈R+，试证：对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2【证明】左边-右边=x2+y2+z2所以左边≥右边，不等式成立。例2若ax1，比较大小：|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.3【解】因为1-x1，所以loga(1-x)0,=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)log(1-x)(1-x)=1（因为01-x21，所以1-x0,01-x1）.所以|loga(1+x)||loga(1-x)|.（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。例3已知a,b,c∈R+，求证：a+b+c-3≥a+b【证明】要证a+b+c≥a+b只需证，因为，所以原不等式成立。例4已知实数a,b,c满足0a≤b≤c≤，求证：【证明】因为0a≤b≤c≤，由二次函数性质可证a(1-a)≤b(1-b)≤c(1-c)，所以，所以，所以只需证明，4也就是证，只需证b(a-b)≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。所以命题成立。（3）数学归纳法。例5对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1(n+1)n.【证明】1）当n=3时，因为34=8164=43，所以命题成立。2）设n=k时有kk+1(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2(k+2)k+1，即1.因为，所以只需证，即证(k+1)2k+2[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2k(k+2)，即证k2+2k+1k2+2k.显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。（4）反证法。例6设实数a0,a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1,2,…,n-1).【证明】假设ak(k=1,2,…,n-1)中至少有一个正数，不妨设ar是a1,a2,…,an-1中第一个出现的正数，则a1≤0,a2≤0,…,ar-1≤0,ar0.于是ar-ar-10，依题设ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1,2,…,n-1)。所以从k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2≥…≥ar-ar-10.因为an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar0与an=0矛盾。故命题获证。（5）分类讨论法。5例7已知x,y,z∈R+，求证：【证明】不妨设x≥y,x≥z.ⅰ）x≥y≥z，则，x2≥y2≥z2，由排序原理可得，原不等式成立。ⅱ）x≥z≥y，则，x2≥z2≥y2，由排序原理可得，原不等式成立。（6）放缩法，即要证AB，可证AC1,C1≥C2,…,Cn-1≥Cn,CnB(n∈N+).例8求证：【证明】，得证。例9已知a,b,c是△ABC的三条边长，m0，求证：【证明】（因为a+bc），得证。6（7）引入参变量法。例10已知x,y∈R+,l,a,b为待定正数，求f(x,y)=的最小值。【解】设，则，f(x,y)=(a3+b3+3a2b+3ab2)=，等号当且仅当时成立。所以f(x,y)min=例11设x1≥x2≥x3≥x4≥2,x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.【证明】设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有≤k≤1,x3x4≥4，原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即(x2+x3+x4)≤x2x3x4，因为f(k)=k+在上递减，所以(x2+x3+x4)=(x2+x3+x4)≤·3x2=4x2≤x2x3x4.所以原不等式成立。（8）局部不等式。7例12已知x,y,z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：【证明】先证因为x(1-x2)=,所以同理，，所以例13已知0≤a,b,c≤1，求证：≤2。【证明】先证①即a+b+c≤2bc+2.即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.因为0≤a,b,c≤1，所以①式成立。同理三个不等式相加即得原不等式成立。（9）利用函数的思想。8例14已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=1，求f(a,b,c)=的最小值。【解】当a,b,c中有一个为0，另两个为1时，f(a,b,c)=，以下证明f(a,b,c)≥.不妨设a≥b≥c，则0≤c≤,f(a,b,c)=因为1=(a+b)c+ab≤+(a+b)c，解关于a+b的不等式得a+b≥2(-c).考虑函数g(t)=,g(t)在[）上单调递增。又因为0≤c≤，所以3c2≤1.所以c2+a≥4c2.所以2≥所以f(a,b,c)=≥==≥9下证0①c2+6c+9≥9c2+9≥0因为，所以①式成立。所以f(a,b,c)≥，所以f(a,b,c)min=2．几个常用的不等式。（1）柯西不等式：若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，则等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1,2,,n,ai=λbi,变式1：若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，则等号成立条件为ai=λbi,(i=1,2,…,n)。变式2：设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n)，则等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.（2）平均值不等式：设a1,a2,…,an∈R+，记Hn=,Gn=,An=，则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.10【证明】由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.1）当n=2时，显然成立；2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记=Gk+1.因为a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥≥2kGk+1,所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，则对于b1,b2,…,bn的任意排列，有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn.【证明】引理：记A0=0，Ak=，则=（阿贝尔求和法）。证法一：因为b1≤b2≤…≤bn，所以≥b1+b2+…+bk.记sk=-(b1+b2+…+bk)，则sk≥0(k=1,2,…,n)。所以-(a1b1+a2b2+…+anbn)=+snan≤0.最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1,2,…,n-1,sn=0),所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。证法二：（调整法）考察，若，则存在。11若(j≤n-1)，则将与互换。因为≥0，所调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。例15已知a1,a2,…,an∈R+，求证；a1+a2+…+an.【证明】证法一：因为，…，≥2an.上述不等式相加即得≥a1+a2+…+an.证法二：由柯西不等式(a1+a2+…+an)≥(a1+a2+…+an)2，因为a1+a2+…+an0，所以≥a1+a2+…+an.证法三：设a1,a2,…,an从小到大排列为，则，，由排序原理可得12=a1+a2+…+an≥，得证。注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。三、基础训练题1．已知0x1，a,b∈R+，则的最小值是____________.2．已知x∈R+，则的最小值是____________.3．已知a,b,c∈R，且a2+b2+c2=1,ab+bc+ca的最大值为M，最小值为N，则MN=___________.4．若不等式对所有实数x成立，则a的取值范围是____________.5．若不等式x+a的解是xm，则m的最小值是____________.6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|8的解集是{x|-2x6}”的____________条件.7．若a,b∈R+，则a+b=1，以下结论成立是__________.①a4+b4≥；②≤a3+b31；③；④；⑤；⑥8．已知0，若，则=____________.139．已知，p=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2,若，则比较大小：p___________q.10．已知a0,b0且ab,m=aabb,n=abba,则比较大小：m_________n.11．已知n∈N+，求证：12．已知0a1，x2+y=0，求证：loga(ax+ay)≤loga2+.13．已知x∈R，，求证：四、高考水平训练题1．已知A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x(a,b,x∈R)，设m=AB,n=ab,P=A2+B2,q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n,p≥q;（2）m≤n,p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.2．已知a,b,c,d∈R，M=4(a-b)(c-d),N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N.3．若R+，且，，将从小到大排列为________.4．已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,a+c≤2b，则的取值范围是________.145．若实数x,y满足|x|+|y|≤1，则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.6．设函数f(x)=(x∈[-4,2])，则f(x)的值域是________.7．对x1x20,1a0，记，比较大小：x1x2________y1y2.8．已知函数的值域是，则实数a的值为________.9．设a≤bc是直角△ABC的三边长，若不等式恒成立，则M最大值为________.10．实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于