高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间§9.7

2020/5/7数学与计算科学学院§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院一、向量到子空间的距离§9.7向量到子空间的距离二、最小二乘法§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院1.向量间的距离长度称为向量和的距离，基本性质（i）,,dd（ii）并且仅当的等号才成立；,0,d（iii）(三角形不等式),,,.ddd一、向量到子空间的距离定义,.d记为§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院2.向量到子空间的距离(1)设为一固定向量，如果与子空间中W每个向量垂直，称垂直于子空间记作,W.W如果则12(,,,),kWL,1,2,,.iWik注:§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院(2)向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.如图示意，对给定，设是中的满足W的向量，则W对有W.§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院,因是子空间，W,,WW则,W由勾股定理222,证明：.故所以.§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院二、最小二乘法问题提出:实系数线性方程组12,,,,,nsijnAXbAaRbbbb（1）即任意都可能使12,,,nxxx211221niiinniiaxaxaxb（2）不等于零．可能无解，§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院设法找实数组使（2）最小,20001,,,nxxx这样的为方程组（1）的最小二乘解，20001,,,nxxx此问题叫最小二乘法问题.最小二乘法的表示:设12111,,,,.nnnjjjjnjjjjjYaxaxaxAX（3）§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院用距离的概念，（2）就是2.YB1122,ssYxxx由（3）,设则12,,,,sA要找使（2）最小，等价于找子空间X12(,,,)sL中向量使到它的距离比到YB()YB12(,,,)sL中其它向量的距离都短.§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院设,CBYBAX这等价于12(,)(,)(,)0,sCCC（4）即120,0,,0,sCCC这样（4）等价于（5）12(,,,)sCL为此必0ABAXAAXAB或这就是最小二乘解所满足的代数方程.§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院已知某种材料在生产过程中的废品率与某种y化学成份有关．下列表中记载了某工厂生产x中与相应的的几次数值：yx找出对的一个近似公式.yx(%)y(%)x1.000.90.90.810.600.560.353.63.73.83.94.04.14.2例题§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线．因此我们决定选取的一次式xaxb来表达．当然最好能选到适当的,,ab使得下面的等式3.61.000,ab3.70.90ab3.80.90,ab3.90.810,ab4.00.600,ab4.10.560,ab4.20.350ab解：都成立.§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院实际上是不可能的．任何代入上面各式都发生,ab些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方,ab和最小，即找使,ab222(3.61.00)(3.70.9)(3.80.9)ababab222(3.90.81)(4.00.60)(4.10.56)ababab2(4.20.35)ab最小.易知§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院3.611.003.710.903.810.90,3.910.814.010.604.110.564.210.35AB最小二乘解所满足的方程就是,ab0,aAAABb§9.7向量到子空间的距离数学与计算科学学院解得（取三位有效数字）.1.05,4.81ab即为106.7527.319.6750ab27.375.120ab