高中数学压轴题精选

2007年高考压轴题集锦1．(安徽卷)如图，曲线G的方程为22(0)yxy≥．以原点为圆心．以(0)tt为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B．直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为2a，求证：直线CD的斜率为定值．2．(安徽卷)某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)dd，因此，历年所交纳的储备金数目12aa，，是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)rr，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)nar，第二年所交纳的储备金就变为22(1)nar，．以nT表示到第n年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出nT与1(2)nTn≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：nnnTAB，其中nA是一个等比数列，nB是一个等差数列．3．(北京卷)已知集合12(2)kAaaak，，，≥，其中(12)iaikZ，，，，由A中的元素构成两个相应的集合：()SabaAbAabA，，，，()TabaAbAabA，，，．其中()ab，是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P．（I）检验集合0123，，，与123，，是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；xyBAOa2aＣD2:2Gyx（II）对任何具有性质P的集合A，证明：(1)2kkn≤；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．4．（福建卷）等差数列{}na的前n项和为1312932nSaS，，．（Ⅰ）求数列{}na的通项na与前n项和nS；（Ⅱ）设()nnSbnnN，求证：数列{}nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列．5．（福建卷）已知函数()exfxkxxR，（Ⅰ）若ek，试确定函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()Fxfxfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFFnnN．6．(广东卷)已知a是实数，函数2()223fxaxxa．如果函数()yfx在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围．7．(广东卷)已知函数2()1fxxx，、是方程()0fx的两个根()，()fx是()fx的导数．设11a，1()()nnnnfaaafa，(1,2,)n.(1)求、的值；(2)证明：对任意的正整数n有na；（3）记lnnnnaba,(1,2,)n.求数列{nb}的前n项和nS．8．（湖北卷）已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：()()fxgx≥（0x）．9．（湖北卷）已知mn，为正整数，（I）用数学归纳法证明：当1x时，(1)1mxmx≥；（II）对于6n≥，已知11132mn，求证1132mmm，求证1132mmmn，12mn，，，；（III）求出满足等式34(2)(3)nnnmnn的所有正整数n．10．（湖南卷）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点．（I）若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．11．（湖南卷）已知()nnnAab，（nN*）是曲线xye上的点，1aa，nS是数列{}na的前n项和，且满足22213nnnSnaS，0na，234n，，，…．（I）证明：数列2nnbb（2n≤）是常数数列；（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列{}na是单调递增数列；（III）证明：当aM时，弦1nnAA（nN*）的斜率随n单调递增．12．（江苏卷）数列{}na为等差数列，数列{}nb是公比为q的等比数列，若11221ababa，，记nS为数列{}nb的前n项的和．（1）若(2)kmbakm，是大于的正整数，求证：11(1)kSma；（4分）（2）若3()ibai为某个正整数，求证：q为整数，且数列{}nb中的每一项都是数列{}na的项；（8分）（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{}nb中有3项成等差数列，若存在，写出一个q的值；若不存在，请说明理由．（4分）13．（江苏卷）设abcd，，，是不全为0的实数，函数2()fxbxcxd，32()gxaxbxcxd，若()0fx有实数根，且都是(())0gfx的根，反之，(())0gfx的实根都是()0fx的根．（1）求d的值；（3分）（2）若0a，求c的取值范围；（6分）（3）若1(1)0af，，求c的取值范围．（7分）2007年高考压轴题集锦（答案）1．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．解：（Ⅰ）由题意知，(2)Aaa，．因为OAt，所以222aat．由于0t，故有22taa．（1）由点(0)(0)BtCc，，，的坐标知，直线BC的方程为1xyct．又因点A在直线BC上，故有21aact，将（1）代入上式，得21(2)aacaa，解得22(2)caa．（Ⅱ）因为(22(2))Daa，，所以直线CD的斜率为2(2)2(2)2(2)122(22(2))2(2)CDaaakacaaaa．所以直线CD的斜率为定值．2．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)nnnTTran≥．（Ⅱ）11Ta，对2n≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)nnnnnnTTraTrara12121(1)(1)(1)nnnnararara，①在①式两端同乘1r，得12121(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnrTarararar②xyBAOa2aＣD2:2Gyx②①，得121(1)[(1)(1)(1)]nnnnnrTardrrra1[(1)1](1)nnndrrarar．即1122(1)nnardarddTrnrrr．如果记12(1)nnardArr，12narddBnrr，则nnnTAB．其中nA是以12(1)ardrr为首项，以1(0)rr为公比的等比数列；nB是以12arddrr为首项，dr为公差的等差数列．3．（I）解：集合0123，，，不具有性质P．集合123，，具有性质P，其相应的集合S和T是(13)(31)S，，，，(21)23T，，，．（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对()ijaa，共有2k个．因为0A，所以()(12)iiaaTik，，，，；又因为当aA时，aA时，aA，所以当()ijaaT，时，()(12)jiaaTijk，，，，，．从而，集合T中元素的个数最多为21(1)()22kkkk，即(1)2kkn≤．（III）解：mn，证明如下：（1）对于()abS，，根据定义，aA，bA，且abA，从而()abbT，．如果()ab，与()cd，是S的不同元素，那么ac与bd中至少有一个不成立，从而abcd与bd中也至少有一个不成立．故()abb，与()cdd，也是T的不同元素．可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即mn≤，（2）对于()abT，，根据定义，aA，bA，且abA，从而()abbS，．如果()ab，与()cd，是T的不同元素，那么ac与bd中至少有一个不成立，从而abcd与bd中也不至少有一个不成立，故()abb，与()cdd，也是S的不同元素．可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即nm≤，由（1）（2）可知，mn．4．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分解：（Ⅰ）由已知得112133932aad，，2d，故212(2)nnanSnn，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2nnSbnn．假设数列{}nb中存在三项pqrbbb，，（pqr，，互不相等）成等比数列，则2qprbbb．即2(2)(2)(2)qpr．2()(2)20qprqprpqrN，，，2020qprqpr，，22()02prprprpr，，．与pr矛盾．所以数列{}nb中任意不同的三项都不可能成等比数列．5．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由ek得()eexfxx，所以()eexfx．由()0fx得1x，故()fx的单调递增区间是(1)，，由()0fx得1x，故()fx的单调递减区间是(1)，．（Ⅱ）由()()fxfx可知()fx是偶函数．于是()0fx对任意xR成立等价于()0fx对任意0x≥成立．由()e0xfxk得lnxk．①当(01]k，时，()e10(0)xfxkkx≥．此时()fx在[0)，上单调递增．故()(0)10fxf≥，符合题意．②当(1)k，时，ln0k．当x变化时()()fxfx，的变化情况如下表：x(0ln)k，lnk(ln)k，()fx0()fx单调递减极小值单调递增由此可得，在[0)，上，()(ln)lnfxfkkkk≥．依题意，ln0kkk，又11ekk，．综合①，②得，实数k的取值范围是0ek．（Ⅲ）()()()eexxFxfxfx，12()()FxFx12121212121212()()eeeeee2e2xxxxxxxxxxxxxx，1(1)()e2nFFn，11(2)(1)e2()(1)e2.nnFFnFnF由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e2)nnFFFnFFnFFnFnF故12(1)(2)()(e2)nnFFFnnN，．6．解析1：函数()yfx在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解，a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解=(1)(1)0ff或(1)0(1)048(3)01[1.1]afafaaa15a或372a或5a372a或a