高一数学期末压轴题

高一数学期末压轴题4(包含全国各重点中学模拟题和全国各地期末试卷)1.已知集合}1,log|{3xxyyA，}0,3|{xyyBx，则BAA}310|{yyB}0|{yyC}131|{yyD}1|{yy16.函数y=)35(log21x的定义域是______.21.（本题满分12分）已知)ln()(aexfx为奇函数，)()(xfxg（1）求实数a的值。（2）若xxxg2log)(在]3,2[x上恒成立，求的取值范围。（提示：即求xx2log的最值）21.答案：（1）a=0;(2)xxxxfxg2log)()(在[2,3]上恒成立即x2log在[2,3]上恒成立，而x2log在[2,3]上的最小值为1，故1.16、下列几个命题①方程2(3)0xaxa的有一个正实根，一个负实根，则0a。②函数2211yxx是偶函数，但不是奇函数。③函数()fx的值域是[2,2]，则函数(1)fx的值域为[3,1]。④设函数()yfx定义域为R，则函数(1)yfx与(1)yfx的图象关于y轴对称。⑤一条曲线2|3|yx和直线()yaaR的公共点个数是m，则m的值不可能是1。其中正确的有_____1\5______________。20.（本小题满分14分）已知二次函数2fxaxbxc.(1)若0)0(,0)1(ff，求出函数)(xf的零点；(2)若()fx同时满足以下条件：①当1x时，函数()fx有最小值0；②1)1(f,求)(xf的解析式；(3)若对)3()1(ff，证明方程)]3()1([21)(ffxf必有一个实数根属于区间(1,3).20.解：（1）【法一】0)0(,0)1(ffba…………………………………1分)1()(xaxxf…………………………………2分所以：函数)(xf的零点是0和-1.…………………………………3分【法二】因为)(xf是二次函数，所以)(xf最多有两个零点，┄┄┄┄┄┄1分又0)0(,0)1(ff┄┄┄┄┄┄┄2分所以：函数)(xf的零点是0和1.┄┄┄┄┄┄┄┄3分(2)由条件①得：241,024bacbaa,0a…………………………………5分222,444babacaacac…………………………………6分由条件②知：1cba………………7分由12abcbaac得11,42acb…………………………………9分所以：221111()(1)4244fxxxx…………………………………10分（3）令)]3()1([21)()(ffxfxg，则)]3()1([21)]3()1([21)1()1(fffffg)]1()3([21)]3()1([21)3()3(fffffg，…………………………………11分0)]3()1([41)3()1(2ffgg…………………………………13分0gx在(1,3)内必有一个实根即方程)]3()1([21)(ffxf必有一个实数根属于(1,3)…………………………………14分⒛(本小题满分10分)对于函数0,212abxbaxxf,若存在实数0x,使0xf=0x成立,则称0x为xf的不动点.⑴当2,2ba时,求xf的不动点;⑵若对于任意实数b,函数xf恒有两个不相同的不动点,求a的取值范围.⒛解:⑴由题义xxx221222…………………………2分整理得04222xx,解方程得2,121xx…………4分即xf的不动点为－１和2.………5分⑵由xf=x得022bbxax…………6分如此方程有两解,则有△=0842422aabbbab…7分把0842aabb看作是关于b的二次函数,则有0216321684422aaaaaa……………9分解得20a即为所求.………10分8.已知向量3(sin,)2xa，(cos,1)xb.（1）当a∥b时，求2cossin2xx的值；（2）设1x，2x为函数2()()4fxabb的两个零点，求12xx的最小值．8.（本小题满分10分）解：（1）由a∥b得：3cossin02xx，……………1分若cos0x，则sin1x，不合题意.则3tan.2x…………2分因此22222cos2sincos12tan16cossin2.sincostan113xxxxxxxxx…………4分（2）2()()4fxabb12(sincos,)(cos,1)24xxx12112(sincos)cossin2cos224224xxxxx22sin(2)244x.…………………6分依题得1sin(2)42x，解得124xk或2724xk，12,kkZ.……………8分又12xx＝217243kk+24，所以12xx的最小值为3．………10分9.已知函数253()sincos82fxxaxa，aR.（1）当1a时，求函数()fx的最大值；（2）如果对于区间0,2上的任意一个x，都有()1fx成立，求a的取值范围.9.（本小题满分12分）解：（1）2227113()sincoscoscos(cos).8828fxxxxxx………2分则当1cos2x时，函数()fx的最大值是3.8………4分（2）22151()cos2482afxxaa.……………5分当02x时，1cos0x，令xtcos，则10t.………6分,218542122aaaty10t.当012a，即02a时，则当2at，即cos2ax时，2max51()1482afxa，解得342a，则302a；……………8分当02a，即0a时，则当0t即cos0x时，max51()182fxa，解得125a，则0a.……………10分当12a，即2a时，则当1t即cos1x时，max53()182fxaa，解得2013a，无解.综上可知，a的取值范围3(,]2．………12分22．（本题满分14分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（１）用a，表示S1和S2；（２）当a为定值，变化时，求21SS取最小值时的．22.(本题满分14分）解：（1）∵AC=,cos,sinaABa∴2sin41cossin21221aaS………………3分设正方形边长为,tan,cot,xRCxBQx则∴axxtancot2sin22sincossin1cossin1tancotaaax，∴.2sin42sin42sin)2sin22sin2(22222aS………………6分（2）当a固定，变化时，22212)2sin211(2sin2sin41)2sin211(aSSt2sin.42sin42sin2sin42令，则)0(444444212ttttttSS………………9分∵,20∴,],1,0(,,4)(,102121tttttttft且任取令112121212111444)()(tttttttttttftf∴.04,1,0212121tttttt∴0)()(21tftf∴]1,0(4)(在tttf上是减函数……………………12分∴t=1时，)(tf有最小值5，∴.4,9412此时有最大值为SS…………14分（北京海淀）(17)（本小题共12分）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD，其中顶点B、C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在NM上,6MON，1ONOM.设DON，矩形ABCD的面积为S.（Ⅰ）用含的式子表示DC、OB的长；（Ⅱ）试将S表示为的函数；（Ⅲ）求S的最大值.NOM图1θDCBANOM图2❤（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为1OD=，四边形ABCD是矩形，所以在RtDOC中，sinsinDCOD.…………………1分所以sinABDC.在RtAOB中，3sintan6ABOB.……………………3分（Ⅱ）在RtDOC中，coscosOCOD.所以cos3sinBCOCOB.………………………5分所以SDCBCsin(cos3sin)2sincos3sin（06）.…………………………………7分（Ⅲ）因为2sincos3sinS11cos2sin2322…………9分133sin2cos22223sin(2)32（06），…………………10分所以，当232，即(0,)126时，S取得最大值312.……………………12分20.(本小题满分14分)已知函数xtxy有如下性质：如果常数0t，那么该函数在(0,]t上是减函数，在[,)t上是增函数．（Ⅰ）已知123124)(2xxxxf，]1,0[x，利用上述性质，求函数)(xf的单调区间和值域；（Ⅱ）当1a时，对于（Ⅰ）中的函数)(xf和函数axaxxg23)(23，若对任意]1,0[1x，总存在]1,0[2x，使得)()(12xfxg成立，求实数a的取值范围．❤9.D10.C14．0a20.(本小题满分14分)解：（Ⅰ）123124)(2xxxxfy812412xx，设12xu，31u，则84uuy，]3,1[u由已知性质得，当[1,2]u，即1[0,]2x时，)(xf单调递减；所以)(xf的单调递减区间为1[0,]2当[2,3]u，即1[,1]2x时，)(xf单调递增；所以)(xf的单调递增区间为1[,1]2由3)0(f，4)21(f，311)1(f，得)(xf的值域为3,4.（Ⅱ）设12,[0,1]xx，且21xx，则)3)(()(3)()(222212121122323121axxxxxxxxaxxxgxg（*）21xx，021xx；又1021xx，1a，3222121xxxx，332a，032222121axxxx所以（*）式0，即)()(21xgxg，所以)(xg在区间[0,1]上单调递减，对于[0,1]x，)0()()1(gxgg，所以2()[132,2]gxaaa由题意，即要)(xf的值域是)(xg的值域的子集，所以只需：2132432aaa解得231a.所以实数a的取值范围是3[1,]219、（本小题满分10分）已知函数421,0()3,1cccxxcfxxxcx满足29()8fc；（1）求常数c的值；（2）解不等式()2fx．19、解：（1）因为01c，所以2cc；由29()8fc，即3918c，12c（2）由（1）得211122()31xxfxxxx