三角函数

1/16三角函数——6类基本初等函数之一三角函数是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。中文名：三角函数外文名：𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛别称：弦数提出者：印度数学家提出时间：公元前五世纪应用学科：数学、物理、地理、天文等发展历史起源公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦(𝐴𝐶)与全弦所对弧的一半(𝐴𝐷)相对应，即将𝐴𝐶与∠𝐴𝑂𝐶对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了。印度人称连结弧(𝐴𝐵)的两端的弦(𝐴𝐵)为“吉瓦(𝑗𝑖𝑏𝑎)”，是弓弦的意思；称𝐴𝐵的一半(𝐴𝐶)为“阿尔哈吉瓦”。后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是“𝑑𝑠𝑐ℎ𝑎𝑖𝑏”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠”。古希腊历史早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》（𝑆𝑦𝑛𝑡𝑎𝑥𝑖𝑠𝑀𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。古希腊文化传播到古印度后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度(3.75°)的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分(10′)的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。阿拉伯历史进入15世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒(10″)的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。𝐶𝑜𝑙𝑙𝑖𝑛𝑠将牛顿的结果告诉了詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到了这一结果。欧拉的《无穷小量分析引论》（𝐼𝑛𝑡𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑖𝑛𝐴𝑛𝑎𝑙𝑦𝑠𝑖𝑛𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑟𝑢𝑚，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写𝑠𝑖𝑛.、𝑐𝑜𝑠.、𝑡𝑎𝑛𝑔.、𝑐𝑜𝑡.、𝑠𝑒𝑐.和𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐.。弦表的发明根据认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出𝐴𝐶，𝐴’𝐶’，𝐴’’𝐶’’……之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克(𝐻𝑖𝑝𝑝𝑎𝑟𝑐ℎ𝑢𝑠，约前180~前125)不2/16是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧𝐴𝐵所对应的弦𝐴𝐵的长。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为“𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑎𝑒𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑒”和“𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑎𝑒𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑒”；后来，这两个名字演变为“𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒”和“𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑”，成为角和时间的度量“分”和“秒”这两个单位得起源。建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如60°弧(16圆周长)所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的160为一个单位)；用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用所称的”托勒密定理”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。传入中国三角学输入中国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将𝑠𝑖𝑛𝑒译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了“正弦”一词的由来。定义直角三角形三角函数定义在直角三角形中，当平面上的三点𝐴、𝐵、𝐶的连线，𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶，构成一个直角三角形，其中∠𝐴𝐶𝐵为直角。对∠𝐵𝐴𝐶而言，对边(𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑒)𝑎=𝐵𝐶、斜边(ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒)𝑐=𝐴𝐵、邻边(𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡)𝑏=𝐴𝐶，则存在以下关系：基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数𝑠𝑖𝑛𝑒𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐∠𝐴的对边比斜边余弦函数𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑒𝑐𝑜𝑠𝑏𝑐∠𝐴的邻边比斜边正切函数𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑡𝑎𝑛𝑎𝑏∠𝐴的对边比邻边余切函数𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑡𝑏𝑎∠𝐴的邻边比对边正割函数𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑠𝑒𝑐𝑐𝑏∠𝐴的斜边比邻边余割函数𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑐𝑠𝑐𝑐𝑎∠𝐴的斜边比对边注：正切函数、余切函数曾被写作𝑡𝑔、𝑐𝑡𝑔，现已不用这种写法。基本三角函数关系的速记方法如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：1.对角相乘乘积为1,即𝑠𝑖𝑛𝜃∙𝑐𝑠𝑐𝜃=1;𝑐𝑜𝑠𝜃∙𝑠𝑒𝑐𝜃=1;𝑡𝑎𝑛𝜃∙𝑐𝑜𝑡𝜃=1.2.六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：𝑠𝑖𝑛𝜃=𝑐𝑜𝑠𝜃∙𝑡𝑎𝑛𝜃;𝑡𝑎𝑛𝜃=𝑠𝑖𝑛𝜃∙𝑠𝑒𝑐𝜃…3.阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃=1;𝑡𝑎𝑛2𝜃+1=𝑠𝑒𝑐2𝜃;1+𝑐𝑜𝑡2𝜃=𝑐𝑠𝑐2𝜃。变化规律正弦值在[2𝑘𝜋−𝜋2,2𝑘𝜋+𝜋2](𝑘∈𝑍)随角度增大（减小）而增大（减小），在[2𝑘𝜋+𝜋2,2𝑘𝜋+3𝜋2](𝑘∈𝑍)随角度增大（减小）而减小（增大）；余弦值在[2𝑘𝜋−𝜋,2𝑘𝜋](𝑘∈𝑍)随角度增大（减小）而增大（减小），在[2𝑘𝜋,2𝑘𝜋+𝜋](𝑘∈𝑍)随角度增大（减小）而减小（增大）；正切值在(𝑘𝜋−𝜋2,𝑘𝜋+𝜋2)(𝑘∈𝑍)随角度增大（减小）而增大（减小）；余切值在(𝑘𝜋,(𝑘+1)𝜋)(𝑘∈𝑍)随角度增大（减小）而减小（增大）；正割值在(𝑘𝜋−𝜋2,𝑘𝜋+𝜋2)(𝑘∈𝑍)随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余割值在(𝑘𝜋,(𝑘+1)𝜋)(𝑘∈𝑍)随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：3/16函数名与常见函数转化关系正矢函数𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃=1−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑣𝑒𝑟𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝜃=1+𝑐𝑜𝑠𝜃余矢函数𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃=1−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝜃=1+𝑠𝑖𝑛𝜃半正矢函数ℎ𝑎𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃=1−𝑐𝑜𝑠𝜃2ℎ𝑎𝑣𝑒𝑟𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝜃=1+𝑐𝑜𝑠𝜃2半余矢函数ℎ𝑎𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃=1−𝑠𝑖𝑛𝜃2ℎ𝑎𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝜃=1+𝑠𝑖𝑛𝜃2外正割函数𝑒𝑥𝑠𝑒𝑐𝜃=𝑠𝑒𝑐𝜃−1外余割函数𝑒𝑥𝑐𝑠𝑐=𝑐𝑠𝑐𝜃−1任意角三角函数定义：在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中设∠𝛽的始边为𝑥轴的正半轴，