17.1一元二次方程的概念

某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题1：解：设长方形绿地的宽为x米，得900102xx整理可得：900204x……（1）变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为x米，得90010xx整理可得：900102xx……（2）思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个名称吗？思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是一元二次方程吗？只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。900204x900102xx一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）都是整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2整式方程一元二次方程的概念•像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。③都是整式方程;①只含一个未知数;②未知数的最高次数是2.即：一元二次方程的共同特点:（默1）一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.20axbxc20axbxc为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？ax2+bx+c=0(a≠0)b是一次项系数一元二次方程的一般形式a是二次项系数常数项二次项一次项“=”的右边必须整理成0.（默2）ax2+bx=0(a≠0,b≠0)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0)不完全的一元二次方程ax2+c=0(a≠0,c≠0)ax2=0(a≠0)例1：判断下列方程是否为一元二次方程？212(4)0xx(1)x2+x=36(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=063)6(2x22)32(14)7(xx062))(8(2xx判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个条件进行判别。（默3）（默3）下列方程中哪些是一元二次方程？05212xx)(013422yx)(032cbxax)(0214)()(xx0152aa)(1262))((m是一元二次方程的有：____________)(1)(4)(6可能为0是分式2(7)5xx2(8)2321xxx是二次根式61.x化简为：例题讲解•[例2]将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：•(1)例题讲解)2(5)1(3xxx105332xxx0105332xxx02x(2)解：010832xx10常数项为－88，其系数为－一次项：－x332，其系数为二次项：x12、系数为二次项：x00、系数为一次项：0常数项：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的ax2+bx+c=0注意:要确定一元二次方程的系数和常数项,必须先将方程化为一般形式二次项系数一次项系数常数项(a≠0)在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝03－5＋11＋1－83－5111－87x2－4＝070－4一元二次方程二次项系数一次项系数常数项42x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x-1=03-1-1抢答：4x2-5=040-5m-31-m-m3x(x-1)=5(x+2)(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)3-8-10方程(2a－4)x2－2bx+a=0,①在什么条件下此方程为一元二次方程？②在什么条件下此方程为一元一次方程？解：①由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2∴当a≠2时是一元二次方程；②2a－4=0a=2－2b≠0b≠0由题意得，解之得∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程.例4：（默4）例2：当m取什么值时，关于x的方程010222mxxmm为一元二次方程。解：根据题意得：222m42m2m又∵02m∴2m∴2m∴当2m时，该方程是一元二次方程。02222mm5（默5）1.关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0,当k时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0,当k时，是一元二次方程．当k时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－1练习巩固4.当m为何值时,方程42(1)2750mmxmx是关于x的一元二次方程.+104-2=2mmm=13.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-5m＋4＝0有一根为2,求m.分析:一根为2，即x＝2,只需把x＝2代入原方程.一元二次方程解的概念方程解的定义是怎样的呢?能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根.（默6）0456)1(4mm6m已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。解：由题意得把x=3代入方程x2+ax+a=0得，32+3a+a=09+4a=094a4a=-9练一练例4：关于x的一元二次方程01122mxxm的一个根为0，求m的值。解：把0x代入原方程，得：012m12m1m又∵01m∴1m∴1m∴当1m时，该方程的一个根为0。例3：判断2，34，0是不是一元二次方程xx2832的根。解：把2x分别代入方程xx2832的左边和右边，得左边的值为48128232；右边的值为422。∵左边的值与右边的值相等∴2x是这个一元二次方程的根。6问题2：在下列方程中，哪些方程有一个根为0？哪些方程有一个根为1？哪些方程有一个根为-1？（1）022xx；（2）0452xx；（3）05232xx；（4）0672xx；（5）0452xx；（6）05322xx。已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值.解：由题意得2110abc0abc即思考:若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根吗?解：由题意得2110abc即0abc∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根是1拓展:若a-b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根吗?讨论：当一元二次方程有一个根为0或1、-1时，一元二次方程的项有什么特征？对于一元二次方程，当有一个根为0时，常数项为0；当有一个根为1时，二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，即；当有一个根为-1时，一次项系数等于二次项系数与常数项的和，即。002acbxaxc0cbacab002acbxax.0,0)22必有一解为则一元二次方程若cbxaxcba.0,0)32必有一解为则一元二次方程若cbxaxcba-11.0,024)42必有一解为则一元二次方程若cbxaxcba2.0,0)12必有一解为则一元二次方程若cbxaxc0（默7）?的值为则的一根是的一元二次方程已知关于aaxxax0,01)1()122A.1B.-1C.1或-1D.0B看谁眼力好！)0(0)7(0)6()2)(1(3)5(023)4(1)3(1)2(1)1(222222的常数为不等于mmxcbxaxxxxyxxxxxxx先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件1.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是3、如何理解一元二次方程的一般形式20axbxc(a≠0)？（1）（2）（1）（2）一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式转化、建模思想。(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件找一元二次方程的二次项、一次项系数及常数项要先化为一般式知识回顾一、一元二次方程的概念一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)对应练习1：1.将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式.其中二次项系数，常数项.2.当m时，方程mx2-3x=2x2-mx+2是一元二次方程.当m时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.x2+3x-3=01-3≠2＝21.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）12132xx02112xx0cbxax21222xxxA.B.C.D.A（1）三个特征：只含有一个未知数；方程的两边都是整式；未知数的最高次数为2次.（2）形如ax2+bx+c=0（a≠0）叫做一元二次方程.2.关于x的方程（a-1）x2-2x+3=0是一元二次方程，则（）A.a1B.a1C.a=1D.a≠1D3.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程,则m的值为()A.任何实数B.m≠0C.m≠1D.m≠0且m≠1C4.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D5、已知x=2是一元二次方程的一个解，则m=_____。baba22221,,0xbaa022mxx6、已知是方程的一个解，则的值是______。0102bxax-357、方程mx2+5x+m=0一定是（）。(A)一元二次方程；(B)一元一次方程;(C)整式方程;(D)关于x的一元二次方程C已知方程(m2)(m2)x40（1）m为何值时它是一元二次方程？（2）m为何值时它是一元一次方程？•分析：（1）由一元二次方程的一般形式，m222，故m20，故m2；（2）需分三种情况讨论：①m20，此时m2；②m221，此时m；③显然x0，故若m220，则原方程也是一元一次方程322mx22mx•解：（1）由m222，m20得m2；（2）分三种情况讨论：一元二次方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。①m20,即m2时,原方程为4x40，是一元一次方程；②m221，即m时，原方程为2x40，是一元一次方程；③显然x0，否则有40；故当m220，即m时，原方程为(2)x60，也是一元一次方程。综上：当m2时，它是一元二次方程；当m2，，时，它是一元一次方程。3323222否则有4=0点拨：对于方程ax2bxc0(x为未知数)，若a0时，它是一元二次方程；当a0，b0时，它是一元一次方程。对于方程axmbxc0，当a0，m2时，它是一元二次方程；当a0或m1或m0（此时必须x0）时，它是一元一次方程。1、（苏州）若是关于的一元二次方程，则（）0322ppxpx走进中考x2、7222mxxmm）若方程（是关于的一元二次方程，x则m的值为____C2