第六章-决策理论与方法-罗党-灰色决策

《决策理论与方法》第1页第1页第六章灰色决策方法《决策理论与方法》第2页第2页学习目的了解灰数、灰色关联、灰色聚类的概念、原理与计算；掌握灰色决策的基本概念以及几类常用的经典灰色决策分析方法和技巧，为以后继续学习灰色决策的理论与方法奠定一定的基础。《决策理论与方法》第3页第3页本讲内容灰色决策相关入门知识灰色决策的经典理论与方法非经典灰色决策方法《决策理论与方法》第4页第4页6.1灰色决策相关入门知识6.1.1灰数及其白化1.灰数灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。灰数：我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰色。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用“”表示灰数。《决策理论与方法》第5页第5页灰数有以下几类：（1）仅有下界的灰数（2）仅有上界的灰数（3）区间灰数（4）连续灰数与离散灰数（5）本征灰数与非本征灰数（6）黑数与白数(特殊的灰数)6.1灰色决策相关入门知识《决策理论与方法》第6页第6页6.1灰色决策相关入门知识2.区间灰数的运算设有灰数用符号表示与间的运算，若，则应为区间灰数，因此应有且对任意的，。法则1设则的和记为，且。法则2设则。,],,[;],,[21dcdcbaba121332,],,[3fefe21~,~],[~~21fe,],,[;],,[21dcdcbaba21与],[21dbca[,],;abab],[ab21《决策理论与方法》第7页第7页法则3设则法则4设则法则5设则法则6设则即。6.1灰色决策相关入门知识,],,[;],,[21dcdcbaba],[)(2121cbda[,],;0,0,0,abababab111[,]ba,],[;],,[21dcdcbaba}],,,max{},,,,[min{21bdbcadacbdbcadac0,0,0,],[;],,[21cddcdcdcbaba,/1212112/[min{,,,},max{,,,}]aabbaabbcdcdcdcd《决策理论与方法》第8页第8页法则7设定理6.1.1区间灰数不能相消，相约。定义6.1.1设为一灰数集，若对任意的有,,均属于（商运算时要满足法则6的条件），则称为一灰数域。定理6.1.2区间灰数全体构成灰数域。定理6.1.3区间灰数全体构成灰色线性空间。6.1灰色决策相关入门知识为正实数，则kbaba,],,[],[kbkak)(R),(,Rjijiji,ijji/)(R)(R《决策理论与方法》第9页第9页3.灰数的白化定义6.1.3形如的白化值称为等权白化。定义6.1.4在等权白化中，取而得到的白化值称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。定义6.1.5设区间灰数，，,当时，6.1灰色决策相关入门知识[0,1]1212[,],[,]abab[0,1][0,1],)1(baa,)1(baa,)1(ba《决策理论与方法》第10页第10页我们称取数一致；当时，称取数非一致。定义6.1.6起点、终点确定的左升、右降连续函数称为典型白化权函数。6.1灰色决策相关入门知识12与12与《决策理论与方法》第11页第11页6.1灰色决策相关入门知识6.1.2灰色关联度灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。灰色关联分析方法对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。《决策理论与方法》第12页第12页6.1灰色决策相关入门知识1.灰色关联因素和关联算子对系统进行灰色关联分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行适当处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。定义6.1.7设为系统因素，其在序号上的观测数据为则称为因素的行为序列;当序号分别为时刻、指标、iXk,,,2,1),(nkkxi))(,),2(),1((nxxxXiiiiiXk《决策理论与方法》第13页第13页6.1灰色决策相关入门知识象时，则依次称为因素的行为时间序列、行为指标对序列、行为横向序列。无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来作关联分析。定义6.1.8设为因素的行为序列，为序列算子，且其中1,若iX))(,),2(),1((nxxxXiiiijD((1),(2),,())ijijijijXDxdxdxndnkxxkxkxiiii,,2,1;0)1();1()()(《决策理论与方法》第14页第14页6.1灰色决策相关入门知识则称为初始化算子，为在初始化算子下的像，简称初值像;2,若,则称为均值化算子，为在均值化算子下的像，简称均值像;3,若则称为均值化算子，为在均值化算子下的像，简称区间值像.1D1DXiiX1DnkiiiiinkkxnXXkxdkx12,,2,1;)(1,)()(2D2DXiiX2Dnkkxkxkxkxdkxikikikii,,2,1;)(min)(max)(min)()(33D3DXiiX3D《决策理论与方法》第15页第15页6.1灰色决策相关入门知识4,若，则称为逆化算子，为行为序列在逆化算子下的像，简称逆化像。5,若，则称为倒数化算子，为行为序列在逆化算子下的像，简称逆化像。称为灰色关联算子集，称(X,D)为灰色关联因子nkkxdkxii,,2,1);(1)(44D4DXiiX4Dnkkxkxdkxiii,,2,1;0)(;)(1)(55D5DXiiX5D}5,4,3,2,1|{iDDi《决策理论与方法》第16页第16页6.1灰色决策相关入门知识2.灰色关联公理和灰色关联度定义6.1.17设为系统特征序列，且为相关因素序列。给定实数，若实数0000((1),(2),,())Xxxxn1111((1),(2),,())((1),(2),,())((1),(2),,())iiiimmmmXxxxnXxxxnXxxxn))(),((0kxkxi))(),((1),(100kxkxnXXinki《决策理论与方法》第17页第17页满足规范性,整体性,偶对对称性,接近性,则称为与的灰色关联度，为与在点的关联系数，并称四个条件为灰色关联四公理。定理6.1.5设系统行为序列，，对于,令6.1灰色决策相关入门知识),(0iXXiX0X))(),((0kxkxiiX0Xk))(,),2(),1((0000nxxxX((1),(2),,())mmmmXxxxn)1,0()()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin))(),((00000kxkxkxkxkxkxkxkxkxkxikiiikiikii《决策理论与方法》第18页第18页则满足灰色关联四公理，其中称为分辨系数。称为与的灰色关联度。灰色关联度的计算步骤如下：步骤1求各序列的初值像（或均值像）。令步骤2求差序列。记6.1灰色决策相关入门知识),(0iXX0X))(),((1),(100kxkxnXXinki),(0iXXiX''''(1)((1),(2),,())iiiiiiXXxxxxn0,1,2,,im''0()()(),((1),(2),,())iiiiiikxkxkn1,2,,im《决策理论与方法》第19页第19页6.1灰色决策相关入门知识步骤3求两极最大差与最小差。记步骤4求关联系数步骤5计算关联度)(minmin),(maxmaxkmkMikiiki0(),(0,1)()iimMkkM1,2,,;1,2,,knim0011();1,2,,niikkimn《决策理论与方法》第20页第20页6.1灰色决策相关入门知识3.广义灰色关联度（1）灰色绝对关联度命题6.1.5设系统行为序列，记折线为，令则当为增长序列时，；当为衰减序列时，；当为振荡序列时，符号不定。)1(iixX))(,),2(),1((nxxxXiiii)1()(,),1()2(),1()1((iiiiiixnxxxxxdtxXsinii))1((1iX0isiX0isiXis《决策理论与方法》第21页第21页6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.18设系统行为序列，为序列算子,且,其中,,则称为始点零化算子，为的始点零化像，记为命题6.1.6设系统行为序列,的始点零化像分别为))(,),2(),1((nxxxXiiiiD))(,,)2(,)1((dnxdxdxDXiiiinkxkxkXiii,,2,1),1()()(DDXiiX))(,),2(),1((0000nxxxXDXiiiii))(,),2(),1((nxxxXiiii))(,),2(),1((nxxxXjjjj《决策理论与方法》第22页第22页,,令则：当恒在上方，；当恒在下方，；当与相交，的符号不定。定义6.1.19称序列各个观测数据间时距之和为长度。0000((1),(2),,())iiiiXxxxn0000((1),(2),,())jjjjXxxxndtXXssjniji)(0100iX0jX0ijss0iX0jX0ijss0iX0jXjissiXiX6.1灰色决策相关入门知识《决策理论与方法》第23页第23页6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.20设序列与长度相同，如命题6.1.5中所示，如命题6.1.6中所示，则称为与的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。定理6.1.6定义6.1.20给出的灰色绝对关联度满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。0XiXiss,00ssi000011ssssssiiii0XiX0i《决策理论与方法》第24页第24页6.1灰色决策相关入门知识命题6.1.7设序列与的长度相同，令，。其中，为常数，若与的灰色绝对关联度为，则。定义6.1.21若序列各对相邻观测数据间时距相同,则称为等时距序列。0XiX'00XXa'iiXXbba,'0X'iX'0i'00iiXX《决策理论与方法》第25页第25页6.1灰色决策相关入门知识引理6.1.1设为等时距序列，若其时距，则时间轴,可将化为1-时距序列。引理6.1.2设与的长度相同，且皆为1-时距序列，而，分别为与的始点零化像，则，lttTTt:XX1l0XiX))(,),2(),1((00000000nxxxX))(,),2(),1((0000nxxxXiiii0XiX10000021()()2nksxkxn10021()()2niiiksxkxn1000000021(()())(()())2niiikssxkxkxnxn《决策理论与方法》第26页第26页6.1灰色决策相关入门知识定理6.1.8设序列和长度相同，当它们时距不同或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相映空穴使之化成时距相同的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不变。定理6.1.9灰色绝对关联度具有下列性质：①；②只与和的几何形状有关，而与其空间相对位置无关，平移不改变绝对关联度的值；0XiXi0i0100ii00XiX《决策理论与方法》第27页第27页6.1灰色决策相关入门知识③任何两个序列都不是绝对无关的,即恒不为零；④