模糊集合

一、模糊集的定义二、模糊集的运算三、分解定理四、模糊性度量本章内容第二章模糊集合论模糊数学的基础精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个集合的关系只有两种可能：属于、不属于；模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度（隶属度）。一、模糊集的定义特征函数（经典集合）经典集合论中，集合通过特征函数来刻画每个集合对应一个特征函数特征函数的定义1,()0,AxAxxA()AxA回忆：设给定论域U以及U到[0,1]的任一映射μA：U[0,1]，则μA都确定U的一个模糊子集AμA叫做A的隶属函数，μA(u)（u∈U）表示u隶属于模糊子集A的程度，称之为u对A的隶属度（有时直接记为A(u)）1、定义：Xx)(xAA1例：设论域U＝[0,100]表示人的年龄，“年轻Y”与“年老O”两个模糊集，扎德给出了其隶属函数u(x)为：u(x)1年轻2550100x年老Y（30）＝0.5Y（35）＝0.2O（55）＝0.5O（80）＝0.82、举例例：某小组有五个同学，亦即x1,x2,x3,x4,x5,设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}，现分别对每个同学的性格稳定程度打分，按百分制给分再除以100，这实际上就是给定一个从U到[0,1]闭区间的映射，例如：112233445585()0.85;75()0.7598()0.98;30()0.3060()0.60AAAAAxxxxxxxxxx这样就确定了一个模糊子集A，它表示出小组的同学对“性格稳重”这个模糊概念的符合程度。3、模糊集合与普通集合普通集合由特征函数刻画•普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数•空集的隶属函数为0)(x•全集X的隶属函数为1)(xXA什么时候模糊集合退化成普通集合？模糊集合A由隶属函数μA刻画1、U上的全体模糊子集构成的集合类，记为F(U)，显然有)()(UPUF其中P(U)是U的幂集。（由集合U的所有子集所组成的集合称为U的幂集，记为）}|{)(UAAUP注：2、用模糊集合描述模糊现象时，隶属函数的确定是关键，一般都是根据实际经验和数学方法结合起来去处理它。4、三类隶属函数S函数（偏大型隶属函数）220,;2,;2(;,)12,;21,xaxaabaxbaSxabxbabxbbabx对于指定的参数是单调递增连续函数,,(;,)abSxabx例如：模糊集“年老”的隶属函数可表示为()(;50,70).OxSxZ函数（偏小型隶属函数）(;,)1(;,)ZxabSxab对指定的参数是的单调递减连续函数这种隶属函数可用于表示像年轻、冷、矮、淡等偏向小的一方的模糊现象,,(;,)abZxabx例如：模糊集“年轻”的隶属函数可表示为()(;25,50).YxZx图：Z函数∏函数（中间型隶属函数）(;,),;(;,)(;,),.SxbabxbxabZxbbaxb对指定参数是的连续函数。且；当时单调递增；当时单调递减。这种隶属函数可用于表示像中年、适中、平均等趋于中间的模糊现象。,,(;,)abxabx(;,)1babxbxb图：π函数5、模糊集合的表示---有限集Zadeh表示法：论域U是有限集,U的任一模糊子集A，其隶属函数为模糊子集A记作()iAix1/niiiAx1/niiix12{,,,}nxxxL不是分式求和，只是一符号而已。“分母”是论域U的元素,“分子”是相应元素的隶属度。当隶属度为0时，该项可以不写入。注意：例子：论域={Bill,John,Einstein,Mike,Tom}smart程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60则论域中元素对“smart”这模糊概念的符合程度可以用模糊子集A来表示A=0.85/Bill+0.75/John+0.98/Einstein+0.30/Mike+0.60/Tom序偶表示法：A＝{(x1,μ1),(x2,μ2),…,(xn,μn)}A={(Bill,0.85),(John,0.75),(Einstein,0.98),(Mike,0.30),(Tom,0.60)}向量表示法：A＝{μ1,μ2,…,μn}A={0.85,0.75,0.98,0.30,0.60}6、模糊集合的表示-无限集当论域U为无限集时，A=∫x∈UμA(x)/x注意：这里的积分号不表示积分，也不表示求和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一个总括。这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续等各种情况。举例：设论域U＝[0,100]表示人的年龄，“年轻Y”与“年老O”两个模糊集。21[0,25][25,100]21[0,50][50,100]25[1()]1550[1()]05xxxxxYxxxOxx定义模糊集合的运算方法，与定义普通集合的运算方法一样，是利用参与模糊集合的隶属函数来定义运算结果所得新模糊集合的隶属函数。两模糊集合的具体运算，实际上就是逐点地对隶属度作相应的运算。包括：交并补二、模糊子集的运算1、定义设A、B为论域U上的模糊集A=φ对任何u∈U，μA(u)=0A=B对任何u∈U，μA(u)=μB(u)A∪B对任何u∈U，μA(u)∨μB(u)A∩B对任何u∈U，μA(u)∧μB(u)Ac对任何u∈U，1－μA(u)AB对任何u∈U，μA(u)≤μB(u)模糊集合的并、交、补例1、论域U={x1,x2,x3,x4,,x5}A,B是论域U的两个模糊子集，A=0.2/x1+0.7/x2+1/x3+0.5/x5B=0.5/x1+0.3/x2+0.1/x4+0.7/x5请您：计算A,B的余集，A∩B，A∪B2、举例12345123451234512512451230.20.50.70.31000.10.50.70.5/0.7/1/0.1/0.7/0.20.50.70.31000.10.50.70.2/0.3/0.5/0.8/0.3/1/0.5/0.5/0.7/1/0.ccABxxxxxxxxxxABxxxxxxxxAxxxxBxxx459/0.3/xx例2：设论域U={a,b,c,d,e}是一个5人组成的集合，表示“高个子”的集合，表示“胖子”的集合，~A~BedcbaA15.09.03.06.0~edbaB2.08.07.04.0~则“或高或胖”~~0.60.70.90.81ABabcdeU则“又高又胖”~~0.40.30.0.50.2ABabcdeI则“不高”edcbaA.05.01.07.04.0~Example3例3：设论域U＝[0,100]表示人的年龄，“年轻Y”与“年老O”两个模糊集。给出模糊集合Y∩O，Y∪O的隶属函数曲线.21[0,25][25,100]21[0,50][50,100]25[1()]1550[1()]05xxxxxYxxxOxx解：先求两曲线的交点，即解方程112225501155xx得近似解，于是51x1122025255151100125501/155xxxxxBAxxxU1122050505151100050251155xxxxxBAxxxI1205050100150115cxxxAxx1202525100025115cxxxBxx3、模糊集合运算性质（1）幂等律：A∪A＝A,A∩A=A;（2）交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;（3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);（4）吸收律：A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A;（5）分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);（6）0-1律：A∪Φ＝A,A∩Φ＝Φ;U∪A=U,U∩A=A;（7）还原律：(Ac)c=A;（8）对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc.注意互余律不成立！！Ac∪A≠U,A∩Ac≠Φ()()()()()()tttTtTtttTtTAxAxAxAx1111()()()()()()nniiiinniiiiAxAxAxAx推广到有限个模糊集：注：对任意多个模糊集：4、模糊集合的其它运算环和、乘积算子：运算性质：满足：交换律、结合律、还原律、0-1律、对偶律不满足：分配律、吸收律、幂等律、排中律^()()()()()(),()()()(),ABxAxBxAxBxxUABxAxBxxU有界算子：运算性质：满足：交换律、结合律、还原律、0-1律、对偶律、排中律不满足：分配律、吸收律、幂等律、()()1(()()),()()0(()()1),ABxAxBxxUABxAxBxxUe模糊集合与经典集合的联系如果模糊集合A的任意元素对于A的隶属度达到或超过一个常量者，就算做经典集合B的成员的话，那么模糊集合A就变成了经典集合B。截集三、分解定理例如，“高个子”是个模糊集合，而“身高175cm以上的人”却是个经典集合。为此便引出了“”的概念。由模糊集合理论可知，模糊集合是通过隶属函数来定义的。1、(--cut)截集引例：1/1/0.9/0.7/0.5/0.4/0.3/0.1/奴隶社会夏商西周春秋战国秦西汉东汉若要求至少应达到0.5水平，则有夏、商、西周、春秋、战国若要求至少应达到0.7水平，则有夏、商、西周、春秋定义：设是论域，(),[0,1],AFX{|()}AxAx例如：A0.5AAAX其中称为阈值XA的截集；称为强截集；的强称为A{|()}AxAx奴隶社会，0.5{夏，商，西周，春秋，战国}}{夏，商，西周，春秋0.5AA显然，AA一个模糊集A的水平截集是普通集合，其特征函数为：1,()()0,()AAAuuu当时当时例：设论域U={a,b,c,d,e,f}上的模糊集合A为：0.30.10.50.910.8Aabcdef则：根据截集定义，得：0.50.70.90.5{,,,},{,,},{,,},{,}AcdefAdefAdefAde注意λ－截集（例）例：设模糊集合A，隶属函数为A(x)=exp{-(x-a)2/σ2},x∈R,其中a∈R,σ0,称A为以(a,σ)为参数的正态模糊集,对于0λ≤1,求A22{()}{lnln}AxAxxaxa含义:正态模糊集表示”在数a左右”1这是一个区间，当时1[,][]Aaaa其它0],[],[)(cbxcbcxbaxabaxxAA定义为：已知A.A求,y解：由()xaba得,y由cbcxy()xcbc得[(),()]Aabacbcabc1abaxy例2、λ截集的三个性质：A，B为模糊集性质1：(A∪B)λ=Aλ∪Bλ，(A∩B)λ=Aλ∩BλAA性质2：若AB，则AλBλ性质3：若λ,μ∈[0，1]，且λ≤μ，则(),()AB