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第七讲一元一次方程及分式方程考纲要求1.了解方程、一元一次方程及分式方程的概念；2.理解方程解的概念；3.了解解分式方程产生增根的原因；4.会解一元一次方程；5.会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)；6.能根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出一元一次方程或分式方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；7.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.abbcccc网络构建一元一次方程、分式方程的概念及等式的性质1．方程含有未知数的____，叫做方程．2．方程的解使方程左右两边________________叫做方程的解．3．一元一次方程方程两边都是____，只含有____未知数，并且未知数的次数是____，这样的方程叫做一元一次方程．等式相等的未知数的值整式一个一次4．分式方程只含分式和整式，并且____中含有未知数的方程叫做分式方程．5．等式的性质(1)等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是____；符号表示：若a＝b，则a±m＝_____．(2)等式的两边都乘以或都除以同一个不为____________，所得结果仍是等式，符号表示：若a＝b，则am＝___，＝___(m≠0)．ambm分母等式b±m零的数或整式bm【即时应用1】已知关于x的方程2x－a－5＝0的解是x＝－2，则a的值为()A．1B．－1C．9D．－9答案D一元一次方程与分式方程的解法1．解一元一次方程的一般步骤(1)去____：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；(2)去____：用分配律：a(b＋c)＝ab＋ac去括号，括号前是负号“－”时，去括号后，括号内的各项不要忘记____；(3)____：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项不要忘记____；(4)合并______：把方程化成ax＝b的形式；分母括号变号移项变号同类项(5)系数化为1：在方程两边同除以未知数的系数，得到方程的解：x＝ba.2．解分式方程的基本步骤(1)去分母：在方程两边都乘以各分母的__________，约去分母，化成整式方程；(2)解________；(3)验根：把整式方程的根代入__________，看结果是不是为零，使最简公分母__________，是原方程的根，使最简公分母____的根是原方程的增根，必须舍去．3．分式方程产生增根的原因去分母后，求出整式方程的解，使分母____，故应是原方程的增根，须舍去；分式方程的增根是分式方程去分母后________的根．最简公分母整式方程最简公分母不为零的根为零为零整式方程A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)答案D【即时应用2】把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()列方程解应用题的一般步骤1．审：审题就是要弄清问题中的已知量和未知量；2．找：找问题中的_________，通过问题中的关键语句找等量关系；3．设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异，有时需用所设的未知数表示另一个未知量；4．列：列方程，先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系的各个量，即方程；5．解：求出所列方程的解；6．检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；7．答：写出结论或答案．等量关系【即时应用3】杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为________.答案1487x－3＝1487x＋70助学微博1．一个防范：在解一元一次方程时，经常用到两个相乘：一个是去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数；二是将分母化成整数时，把分母、分子同乘以10n.这两个“同乘以”有着本质的区别，不可混淆；2．一个思想：解分式方程的基本思想是转化的思想，即把分式方程通过去分母转化成整式方程；3．一个必须：解分式方程必须验根.对接点一：方程解的概念及应用常考角度：1.判定给定的数是否是方程的解；2．已知方程的解，求方程中待定字母的值．【例题1】(2013·湖州改编)若x＝2是关于x的方程2x＋3m－1＝0的解，则m的值为________．解析把x＝2代入2x＋3m－1＝0得，4＋3m－1＝0，解得m＝－1.答案－11．已知方程的解，求其中字母的值，常根据方程解的定义，把解代入原方程即可求出字母系数的值；2．解选择题时，常把选项中的数代入方程，看左右两边是否相等即可．【预测1】方程x(x－1)＝0的解是()A．x＝0B．x＝1C．x＝0或x＝1D．x＝0或x＝－1解析当x＝0时，x(x－1)＝0×(0－1)＝0，当x＝1时，x(x－1)＝1×(1－1)＝0，当x＝－1时，x(x－1)＝－1×(－1－1)＝2≠0.答案C对接点二：一元一次方程的解法常考角度：1.一元一次方程的解法和步骤；2．等式的性质和分式的基本性质．【例题2】解方程：0.1x－0.20.5－0.01x＋0.030.1＝2x－53－3.分析：首先根据分式的基本性质，整理0.1x－0.20.5＝x－25，0.01x＋0.030.1＝x＋310，这种变形是利用分式的基本性质，与等式无关，然后再按解一元一次方程的解法和步骤解．去分母，得6(x－2)－3(x＋3)＝10(2x－5)－90，去括号，得6x－12－3x－9＝20x－50－90，移项，得6x－3x－20x＝－50－90＋12＋9，合并同类项，得－17x＝－119，系数化1，得x＝7.解原方程可化为：x－25－x＋310＝2x－53－3，1．要清楚是利用分式的性质整理和还是利用等式的性质去分母；2．去分母时，不要漏乘不含分母的项；3．去括号时，括号前面是“－”号时，去掉括号后，括号内各项都要变号．解去分母，得6x－3(x－1)＝12－2(x＋1)去括号，得6x－3x＋3＝12－2x－2移项，得6x－3x＋2x＝12－2－3合并，得5x＝7【预测2】解方程：x－x－12＝2－x＋13.系数化1，得x＝75.对接点三：分式方程的解法常考角度：1.分式方程的解法；2．转化的数学思想和方法．【例题3】(2013·宁波)解方程：31－x＝xx－1－5.分析：根据分式方程的解法，首先确定最简公分母为x－1；然后去分母化成一元一次方程；解一元一次方程；最后不要忘记验根．解方程两边同乘以x－1，得－3＝x－5(x－1)．解得x＝2.检验：当x＝2时，x－1＝2－1＝1≠0，所以，原方程的解为：x＝2.1．去分母时，不要漏乘不含分母的项；2．解分式方程必须验根．【名师课堂】名师精讲(题18)A．1B．0C．2D．－2【预测3】(2013·济宁改编)关于x的分式方程xx－1－2＝mx－1无解，则m的值是()解析方程两边同乘以x－1，得x－2(x－1)＝m，解得x＝2－m，∴x＝2－m＝1，解得：m＝1.∵关于x的分式方程xx－1－2＝mx－1无解，答案A对接点四：一元一次方程和分式方程的应用常考角度：1.能利用列方程解应用题的七个步骤解决应用题；2．掌握实际问题中的一些等量关系．【例题4】(2013·菏泽)为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．分析：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天，列出方程求解即可．解设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，经检验，x＝40是原方程的解，并且符合题意，1．5x＝1.5×40＝60，根据题意得，1200x－12001.5x＝10，解得x＝40.答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．1．找等量关系是解应用题的关键；2．正确的解方程是基础；3．检验是正确解题的保证．【预测4】冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃均用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？解设油桃每斤为x元，则樱桃每斤是2x元，经检验得出：x＝8是原方程的根且符合题意，则2x＝16.根据题意得出：80x＝802x＋5，解得：x＝8.答：油桃每斤为8元，则樱桃每斤是16元．易错点1：解法错误辨识：解法错误主要有：(1)去分母时漏乘；(2)去括号时，括号前是“－”号时，括号内的项忘记变号；(3)移项忘记变号；(4)解分式方程忘记检验．A．18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)B．3x＋(2x－1)＝3－(x＋1)C．18x＋(2x－1)＝18－(x＋1)D．3x＋2(2x－1)＝3－3(x＋1)[错解]B、C、D.[错因分析]B．只是简单地、机械地把分母去掉，没有根据等式的基本性质：方程两边同乘以6；C.含分母的项约分约错；D.漏乘不含分母的项．[正解]A【例题1】解方程3x＋2x－13＝3－x＋12去分母正确的是()易错点2：忽略隐含条件辨识：解分式方程时，“分母不为零”这个隐含条件往往被忽略．【例题2】(2012·兰州)关于x的分式方程mx－1＋31－x＝1的解为正数，则m的取值范围是________．[错解]两边同乘以(x－1)，得：m－3＝x－1，解得：x＝m－2，∵解为正数，∴x＝m－2＞0，∴m＞2.答案m＞2.[错因分析]忽略了x≠1；[正解]两边同乘以(x－1)，得：m－3＝x－1，解得：x＝m－2，∵解为正数，∴x＝m－2＞0，∴m＞2；又∵x－1≠0，∴x≠1，∴m－2≠1，∴m≠3.答案m＞2且m≠3