多项式互素

多项式互素小结互素多项式亦称为互质多项式.若数域上的两个多项式，除零次多项式外不再有其他的公因式，则这两个多项式称为互素的.xP中两个多项式xf与xg互素的充分必要条件是xP中存在多项式xu与xv，使1xgxvxfxu一、互素定义:xPxgxf,,若1,xgxf，则称xgxf,为互素的（或互质的）。二、互素的判定与性质：①xgxfxPxgxf,,,互素1xgxvxfxu，使1xgxvxfxu②若1,xgxf，且xhxgxf，则.xhxf③若xgxfxgxf21,，且1,21xfxf，则xgxfxf21。④若1,,1,xhxfxgxf，则1,xhxgxf。三、多项式互素的充分必要条件：设xgxf,是数域F上的一元多项式，如下条件等价①xf与xg互素②1,xgxf，（或者说xf与xg只有常数项公因式。）③存在xvxu,使1xgxvxfxu。④对任意的xh，存在xvxu,使xhxgxvxfxu⑤xf与xg无公共根。四、例题：1、（2013杭州师范大学考研题）：已知xFxgxf,，且1,xgxf，证明：12,xgxfxgxf证明：方法一：xgxgxfxgxfxgxf3,2,=1,3,3xgxfxfxg方法二：由已知条件得，存在xFxvxu,，使得1xgxvxfxu。取xvxuxu2311，xvxuxv311，则xFxvxu11,，且有1211xgxfxvxgxfxu，从而12,xgxfxgxf。2、（2010年河南科技大学考研题）如果多项式xgxf,不全为零，证明：xgxfxf,与xgxfxg,互素。证明：存在多项式xvxu,，使xgxvxfxuxgxf,。因而1,,xgxfxgxvxgxfxfxu由定理得1,,,xgxfxgxgxfxf所以xgxfxf,与xgxfxg,互素。3、（2002年上海交通大学考研题）设xdgxcfxgxbgxafxf11,，且0bcad，证明xgxfxgxf11,,。证明：设xdxgxfxdxgxf111,,,要证明xdxd1及xdxd1首先因为xfxd，xgxd，所以由条件知道xfxd1，xgxd1从而xdxd1。另一方面，由于0bcad所以由条件知道xbgxdfbcadxf111，xagxcfbcadxg111。于是由xfxd1，xgxd1，得xfxd1，xgxd1，从而xdxd1。所以xdxd1所以xgxfxgxf11,,4、（2012年中国科学院考研题）设多项式11kxgxpxgk，多项式xp与xg1互素。证明：对任意多项式xf有xgxpxfxpxrxgxfkk111其中，xr，xf1都是多项式，0xr或xpxrdegdeg.分析：只需要证明xfxpxgxrxf11即可证明：由,1,1xgxp得11xvxgxuxp则,1xfxgxvxfxuxpxf对其中的,xfxv用xp来除，用带余除法，,xrxqxpxfxv这里0xr或xpxrdegdeg.故得xfxpxgxrxrxqxpxgxfxuxpxf111于是xgxpxfxpxrxgxfkk1115、设1,xgxf，证明：1,xgxfxgxfxgxfxgxf证明：由于1,xgxf，故1,xgxfxf，1,xgxfxg，由互素性质得到1,xgxfxgxf，从而1,xgxfxgxfxgxf1,xgxfxgxfxgxf再利用互素的性质，得1,xgxfxgxfxgxfxgxf6、如果1,xgxf，1,xhxf，那么1,xhxgxf.证明：设1xgxvxfxu，111xhxvxfxu，两式相乘得xhxvxfxuxfxuxu121111xhxgxuxvxfxuxgxvxfxuxgxvxhxvxuxfxuxu11111xhxgxuxv所以1,xhxgxf7、如果xgxf,不全为零0，且xgxfxgxvxfxu,，那么1,xvxu证明：设xgxfxd,.由于xgxf,不全为0，所以0xd.设xdxgxgxdxfxf11,，则,11xdxdxgxvxdxfxu111xgxvxfxu那么1,xvxu.8、证明：对于任意的正整数n，都存在多项式xf，使得11xfxn，11xfxn。证明：显然11,1xx，从而对于任意的正整数n，有11,1nxx，进一步有11,1nnxx。于是，存在多项式xvxu,，使得111nnxxvxxu，将两边都乘2，得21212nnxxvxxu，移除得nnxxvxxu121112。令nnxxvxxuxf121112，则得出11xfxn，11xfxn注：此题中有nx1与nx1是互素的，所以我们就可以用互素的充分必要条件得到111nnxxvxxu这个等式。五、做题反思：1.在做有关多项式互素部分的习题时，我们应该学会掌握通常的解题步骤。一定要重视审题，认真找出题中所给出的每一个条件，还要注意解题的完善。2.掌握基本题的一般方法。虽然高等代数中解题的方法比较灵活，技巧性也比较高，但很多基本问题的解题方法及思路还是有一定规律的。对于一些无固定方法的习题，要善于从已知到未知中找联系，逐步确定解题方案。3.多项式互素的习题多为证明题，那么我们就应该有针对性地多练这方面的问题，从中发现规律、总结经验：①用定义证明，有一些显而易见的问题直接用某一方面的知识就能去证明，按定义去做即可。②分析性逻辑性比较强的证明。这需要分析问题所涉及到的知识，主要看涉及到哪些定理，这些定理之间有什么联系，从中找到解决问题的切入点，从而完成问题的证明。六、总结：在多项式中互素是尤为重要的，一定要记住关于多项式互素的所有的定义、判定和它的所有性质。在做题的时候要注意每道题中，是哪两个之间的互素，并合理运用它们。关于多项式互素的题大部分都是证明题，所以大家还要组织好自己的语言证明好每道题。