计算水力学01

计算水力学第一章基本方程李光炽计算水力学1.守恒定律1.1微分方程的意义连续方程的矢量式:对于不可压缩流体，上式简化为divU=0物理意义可表述为：流体密度的增加等于位体积内流入的净质量。李光炽计算水力学0Udivt设表示水流和输运现象中某种物理量在单位质量中的含量。当为i方向的速度分量Ui时，其物理意义为单位质量流体所含的i方向的动量。当=1时，表示单位质量流体所含的质量李光炽计算水力学0Udivt设J表示对因变量发生影响的通量。J在x方向的分量即通量，表示进入面积为dydz表面的通量，而离开对立面的通量可表示为，因而x方向的净通量为李光炽计算水力学dyyxdxxJJxxxJxJdxxJJxx单位体积的净通量(1)微分方程中的因变量可看作单位质量流体所含的物理量，(2)微分方程中的各项均表示某种物理机制，对单位体积中因变量的含量发生影响，(3)整个微分方程，是上述各项的总和，表示各种影响之间的平衡或守恒。李光炽计算水力学divJzJyJxJzyx1.2守恒定律一、输运物质守恒和热量守恒设水流的速度场为U，水流挟带着泥沙悬移质或某种污染物质，其质量浓度(即单位体积中输运物质质量与混合物质量之比)为C，则C的守恒可表示为李光炽计算水力学CCSJUCdivCt物质守恒第一项可理解为单位体积内所含输运物质随时间的变化率。2-1是该物质的对流通量，即由流速场引起，随水流运动的通量。2-2表示扩散通量，通常由C的梯度所引起．对流通量和扩散通量的散度，即单位体积的净通量，构成微分方程的第二顷。方程右端的是输运物质在单位体积中的产生率，称为源项。李光炽计算水力学物质守恒费克(Fick)扩散定律表示扩散通量JC李光炽计算水力学gradCJCCC为扩散系数CCSgradCdivUCdivCt张量形式为李光炽计算水力学CjjCjjSxxCxCUtC2描述水流中热量守恒TjjTjjSxxTxTUtT2二、动量守恒(Navier—Stokes方程)李光炽计算水力学ijjiijijiBxxUxPxUUtU21写出水流动量守恒的微分方程，即著名的纳维埃-斯托克斯方程式中P为压力，v为运动粘性系数，B为单位体积的体积力三、紊流的时均(Reynolds)方程对纳维埃—斯托克斯方程作时均演算,并采用鲍辛捏斯克(Boussinesq)关于紊动粘性系数的假设，便可得出时均流的动量方程：李光炽计算水力学式中为紊动粘性系数，字母上方的横线表示时均值tijjitijijiBxxUxPxUUtU212.通用微分方程如果用表示通用变量，则有各方程的通用形式：李光炽计算水力学SgraddivUdivt称为水流和输运现象的通用微分方程。通用微分方程包含变化率项、对流项、扩散项和源项。令因变量代表不同的物理量，并对扩散系数和源项S作相应的调整连续方程、浓度输运方程李光炽计算水力学0S,0,10Udivt得出连续方程CCSS,,C得出浓度输运方程CjjCjjSxxCxCUtC2温度输运方程、动量方程李光炽计算水力学TTSS,,T得出温度输运方程TjjTjjSxxTxTUtT2iiiBxP-S,,U得出动量方程ijjiijijiBxxUxPxUUtU21通用微分方程的张量形式为李光炽计算水力学SxxUxtjjjj爱因斯坦求和约定（Einsteinsummationconvention）332211xxxxxxxxjj3圣维南方程一、连续方程质量守恒定律：通过控制面进到控制体的质量＝控制体内质量增量李光炽计算水力学李光炽计算水力学1122tt+△tρQ△X质量守恒原理示意图xxQQtxAt)(由质量守恒定律可得：李光炽计算水力学txqxxtQttxAl)()(化简后得：简化过程中用到了ρ为常数的假设。式中：Ａ为过水断面面积，Ｑ为断面流量lqxQtA二、动量方程动量方程的推导主要依据是动量守恒定律。由于动量是一矢量，推导是建立水流流动方向的动量方程。通过控制面流进到控制体内的动量＋作用于控制体外力的冲量＝控制体积内动量的增量李光炽计算水力学李光炽计算水力学1122tt+△t△XαρQu动量守恒原理示意图xxQuQutxQt)(经过Δｔ时间后,控制体的动量发生了变化,其增量为:李光炽计算水力学ttxQttMM)(在Δｔ时间内通过控制面流入到控制体的动量为：txVqxx)tQu(xl作用于断面１－２之间的控制体上的力有：重力、摩阻力及水压力重力在水流方向上的分量为：ρｇＡ·ΔｘＳ０李光炽计算水力学fSxgA在非恒定流情况下摩阻损失与恒定流情况下差别不大，仍可用曼宁公式、谢才公式或流量模数公式，由此可得出作用于控制体上的摩阻力为压力：压力对断面１－２之间水体的作用，分为两部分：断面压力差和侧壁上的压力李光炽计算水力学PFaFa控制体上压力分布图xxPP李光炽计算水力学hξB断面压力积分示意图断面上的压力为李光炽计算水力学)t,x(h0d))t,x(h)(t,,x(gbP断面１与断面２的压力差为：)t,x(h0xdx)t,,x(b))t,x(h(gxxhgAxxPP李光炽计算水力学1122侧壁压力分力计算示意图作用于断面1-2之间的侧壁压力在水流方向上的分量等于断面１与断面２的差值部分面的压力，其大小为李光炽计算水力学)t,x(h0xdx)t,,x(b))t,x(h(gR作用于控制体上的总压力在水流方向上的分量为xxhgA可得作用于控制体上的总外力为李光炽计算水力学xhxgAxSgAxSgAFf0由动量守恒定律可得：t)xhxgAxSgAxSgA(xtVqx)tQu(xtt)xQ(f0xl化简可得动量方程李光炽计算水力学xlf0Vq)SS(gAxhgA)Qu(xtQxl2VqKQQgAxZgA)Qu(xtQ可写成等价形式明渠非恒定流的基本方程－圣维南方程组李光炽计算水力学xl2VqKQQgAxZgA)Qu(xtQlqxQtA4定解条件和定解问题非恒定问题必须给出初始条件和边界条件。初始条件与边界条件是确定微分方程解的必不可少的条件,合称为定解条件。定解条件少给了,就无法定解，即所谓欠定;多给了可能产生矛盾,即所谓过定;只有给出适当个数的定解条件才能求解,即所谓适定。适定性：解的存在性、唯一性和稳定性李光炽计算水力学对流方程李光炽计算水力学0xuCtudtdxC0xudtdxtu0dtdu称为特征线即ｕ的值沿特征线保持不变李光炽计算水力学xtCDabAB特征线示意图C1tg将特征线视为有向线段,其方向与ｔ增加时的方向一致。定解域边界(包括初始时刻)上的某点是否要给出定解条件,可从该点处作特征线,若其方向指向定解域内,则需给出定解条件,否则不必给。在计算域的边界(请注意，这里没有必要区别什么是初值条件边界，什么是边值条件边界)处，边界条件的个数就等于穿越边界而进入定解域的特征线的条数。李光炽计算水力学圣维南方程组沿顺特征线李光炽计算水力学f22h0gASAQ]xABS[DtDZ)Cu(BDtDQCudtdx沿逆特征线f22h0gASAQ]xABS[DtDZ)Cu(BDtDQCudtdx缓流和急流由于是缓流，因而水流的佛汝德数，故域内一点处的两条特征线分别指向上、下游。由于是急流，因而水流的佛汝德数，故域内一点处的两条特征线均指向下游。李光炽计算水力学0.1CuBgAuFr0.1CuBgAuFr李光炽计算水力学txCDLBAT缓流情况下边界处特征线方向示意图李光炽计算水力学xtCDLBAT急流情况下边界处特征线方向示意图