经济学中的数学分析方法——6 不确定性与风险投资

1第六章不确定性与风险行为前几章，我们所讨论的经济人的理性行为和涉及的商品都是确定性的。但是在实际经济生活中，我们也会遇到一些带有风险的不确定的经济现象。如当人们去买某种“彩票”、“期货”或“保险”时，他们的收益是不确定的，或者说是有风险的。“运气”好时收益就高，“运气”不好时收益就低甚至还要赔。所以“彩票”或“期货”都是带有不确定性的商品。本章我们将讨论处理这种商品的方法。§6.1期望效用函数定义设有一个事件：以p的概率获利x，以（1－p）的概率获利y，p01££。我们把这种事件称为彩票。并用公式pxpy1×Å×（－）表示，也可用符号p,x,y（）来表示。彩票作为一种商品，它的收益是不确定的，可能获利x，也可能获利y。当p01时，消费者就面临一定的“风险”。当p=1时，p,x,yx（）＝；当p=0时，p,x,yy（）＝，只有这两种情况的收益是确定的。为了对彩票进行比较，我们引进相应的偏好和效用函数，并作如下假设：NeumannMorgenstern－公理（简称N－M公理）（1）完全顺序公理：x,yxyf，或yxf，必有一成立；（2）连续性公理：若xyyzff，，则必存在一个p（0p1）,使p,x,zy（）；（3）独立性公理：若xy，则p,x,zp,y,zz()＝(),；（4）概率不等公理：若xyf，则2p,x,yp,x,ypp112Ûf（）（）；（5）复合彩票公理：设Lp,x,y11＝()，Lp,L,L2234＝()，Lp,x,y33＝()，4Lp,x,y4＝（），其中，ppppp132241＝+(－)，则Lp,x,yLp,L,L112234（）＝（）（6.1）事实上：Lp,L,Lpp,x,y1pp,x,y2234234Å2（）=（）（-）(）=ppxpyppxpy233244[(1)](1)[(1)]Å-+-Å-ppppxppppy23242324[1][111]=-Å---+()()+()()PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建()ppppxpppp23242324[1][11]y=Å--＋(－)＋()pxpy=p,x,y111(1)()Å-＝公理（5）表明，消费者只关心最终以什么概率获利x及y，而不管以这个概率中奖的机会是通过一次抽奖，或是通过多次抽奖的形式。定义设L为彩票空间，若对任意一个彩票p,x,yLÎ()，都存在一个函数up,x,y（），使得，up,x,ypux+puy()()(1)()＝－（6.2）则称此函数u为“与满足N－M公理的偏好相协调”的效用函数，或称期望效用函数。定理6.1N－M期望效用函数是存在的。证明：设b为最好的利益，w为最差的利益。对任意彩票Lp,x,ypxpy()()Å＝＝1-，令xxxuxupbpwp()[(1)]Å-＝＝，由连续性，对x则存在px使xxxpbpw(1)Å＝－，于是ubuw()1()0＝，＝，若yyypbpw(1)Å-＝，则yuyp()＝，xxxxpxpyppbpw+ppbpw(1)[(1)](1)[(1)]Å-Å--Å-Q＝xyxyppppbppppw[(1)][1((1))]-Å--＝＋＋up,x,yupxpy()((1))\Å-＝xypppppux+puy(1)()(1)()--＝+＝当xyf时，xxyyxpbpwypbpw(1)(1)Å-Å-Q＝，＝，xyuxppuy()()\＝＝说明这种期望效用函数是与偏好“f”相协调的。设uLR®：是一个期望效用函数，令()F×是一个严格单调函数，我们知道u(())F×是消费者的效用函数，但是它是否必为期望效用函数呢？回答一般是否定的。然而，若该严格单调函数()F×为仿射函数xax+c()F＝时，则可以证明u(())F×仍为一个期望效用函数。定理6.2设uLR®：为一个期望效用函数，xax+c,a()F＝(0)为仿射函数，则()(())()vuau+c×=F×=×也是一个期望效用函数。证明：((1))((1))vpxpy=aupxpy+cÅÅ-－PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建=apux+puy+c[()(1)()]-=paux+c+pauy+c[()](1)[()]-=px+py()(1)()n-n注意：本节讨论的内容均可推论到具有两种以上收益结果的彩票中去。例6.1设有两种彩票：Lx,x120.5,1＝()，Lx,x2340.4,＝()及一个期望效用函数u(x)。其中，ux1()25=，ux2()64=，ux3()36＝，ux4()49＝，则uL=uxx12()(0.50.5)Å1=uxux=10.5()0.5()44.52＋，3uL=uxx24()(0.40.6)Å340.4()0.6()43.8=uxux=＋LL12\f若选择经过仿射函数xax+c()F＝复合的期望效用函数：(()0vL)=auL+ca，，则11()()0.5()0.5()vLauL+cauxcauxc==12[+]+[+]aux+uxcac20.5()0.5()]44.5=+=´+1[同理可得，22()()43.8vLauLcac=+=´+，可见12()()()()uLuLvLvLÛ12§6.2对风险的态度一般情况下，消费者对彩票的态度是不同的。通常分三种情况来分析消费者对彩票（有风险的商品）pxpy(1)Å-的态度。若消费者采用效用函数满足：()upx+pypux+puy(1)()(1)()--＝（6.3）即彩票收益期望值的效用值等于彩票效用的期望值。这时说明消费者只关心期望值的大小，这样的消费者称为风险中立者（riskneutral）。若消费者采用效用函数满足：upx+pypux+puy((1))()(1)()--（6.4）即期望值的效用大于效用的期望值时，称为风险规避者（riskaversion）。若消费者采用效用函数满足：PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建((1))()(1)()--（6.5）即期望值的效用小于效用的期望值时，称为风险爱好者（risklove）。值得注意的是，以上这些定义中的提法都与x,y和p有关。(见图6.1)如果N-M效用函数是严格凹的，若u''x()0，则此消费者为风险厌恶者;如果N-M效用函数是严格凸的，若u''x()0，则此消费者为风险爱好者;如果N-M效用函数是线性函数，故u''x()0=，则此消费者为风险中立者。当然,也可能出现这种情况，对某些x，u''x()0，消费者对某些x是风险爱好者;对某些x’，u''x'()0，消费者对某些x’是风险爱好者，我们在此不讨论这种情况。(图6.1)例6.2设消费者(或投资者)面临如下的选择：（1）选择彩票xxx+x(0.5,,)0.5()0.5()+d-d=dÅ-d，即0.5的概率获得x+d，0.5的概率获得x-d；（2）获得x的概率为1。风险厌恶的消费者(或投资者)将会选择(2)，而不会选择(1)，设他的期望效用函数u(x)是严格凹的，满足uxxuxuxux(0.5,,)0.5()0.5()()+d-d=+d+-d(6.6)如图6.2显示，在弧线上的函数值u(x)比同一自变量在弦上的值uxux0.5()0.5()+d+-d为期望值的效用：u(ax+(1-a)y)为效用的期望值：au(x)+(1-a)u(y)PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建要大，即OFOE。设u(x)为二阶连续可微，严格凹，且单调增的效用函数，则存在唯一的z(x)，使uxuxuz0.5()0.5()()+d+-d=(6.7)称z为选择(1)时对应于x的确定性等价值。设r满足z=x-r(6.8)若消费者或投资者是风险厌恶者，则r0;若他是风险爱好者，则r0。我们称r为风险保险金。这就是说，风险保险金是消费者或投资者为了得到确定的回报而愿意付出的最大的金额。因r由x和d决定，故=x,()rrd。§6.3风险的度量如上所述，投资彩票是有风险的。对于风险厌恶者，他是不愿意去买风险较高的彩票的。那么怎样来刻画风险的程度呢？从函数的图形来看，越是向上弯的效用函数曲线，对风险越厌恶。我们知道曲线的弯曲程度可用二阶导数来描绘，然而仅用二阶导数还不足以刻画风险厌恶的程度，因为要受效用函数换单位的影响，而使不同的人之间风险厌恶的程度无法比较。Arrow和Pratt建议用下列公式来度量风险厌恶的程度：uxduxAxuxdx()[ln()]()()¢¢¢¢＝－＝－(6.9)称它为风险厌恶的Arrow-Pratt系数。当Ax()0为风险厌恶者；当Ax()0=为风险中立者；当Ax()0为风险爱好者。PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建()越大，局部风险厌恶的程度越大，该消费者就越不愿接受较大的风险。为了理解这个公式的含义，我们从风险保证金=x,()rrd着手加以分析。由风险保证金的定义，有恒等式：uxx,uxux[()]0.5()0.5()-rdº+d+-d考察这个恒等式的两端，当d较小时,取泰勒展开式uxx,uxx,ux[()]()()'()-rd@-rduxuxuxux2()()'()''()2d+d@+d+uxuxuxux2()()'()''()2d-d@-d+将它们代入恒等式，得uxx,uxuxux2()()'()()''()2d-rd@+即uxx,ux2''()()2'()drd@-×所以，我们定义风险厌恶的Arrow-Pratt系数为uxAxux()()()¢¢¢＝－得Axx2()2(,)/@rdd当有两个N-M效用函数uxux12(),(),由上式得，对足够小的d，有AxAxx,x,1212()()()()Ûrdrd(6.10)所以，用Ax()来衡量风险厌恶的程度是比较合理的，而且对不同的人也是可以比较的。事实上，1964年Pratt在全局范围内，证明了下列定理：定理6.3（Pratt）设uxux12(),()为两个二阶连续可微，单调增，严格凹的N－M效用函数，则AxAxx,x,1212()()()(),ÛrdrddPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建()：ruxAxxxAxux()()()()¢¢=¢＝－(6.11)并称它为相对风险厌恶的Arrow-Pratt系数。在经济学文献中，通常假设期望效用函数要满足下列条件：a)对所有的x,u'xu''x()0,()0;b)A'x()0;c)rAx'()0。几个常用的期望效用函数为：1．uxa+bx+cxb,c()ln(),0,00³³＝。这里bu'xxc()0=+，bu''xxc()0()-=+且AxxcA'xxc2()1/(),()1/()0=+=-+rrAxxc,Axcxc2()1/()'()/()0=+=+³2.uxax,ab,axbb11(),00,00()-³³-³+＝。则u'x,u''xxbxb2312()0()0()()-==++，AxxbA'xxb2()2/(),()2/()0=+=-+rrAxxxb,Axbxb2()2/()'()2/()0=+=+还有一些其它的类型，如3.axuxea(),0-=-。则axaxu'xae,u''xae,2()0()0--==-且AxaA'x(),()0==;rrAxaxA'xa(),()==。4.效用函数ux()，使rAxa()=。经过简单的积分，可得：PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建时，auxx1()-=；当a1＝时，uxx()ln=；当a1时，auxx(1)()--=-。§6.4风险投资（1）风险与保险某消费者具有