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1北京市大兴区2019_2020学年度第一学期期末检测试题高三数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜4}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是（）A．2B．73C．52D．33．已知向量𝑎→=(2，0)，𝑏→=(1，1)，则下列结论正确的是（）A．𝑎→⋅𝑏=1B．𝑎→∥𝑏→C．|𝑎→|=|𝑏→|D．(𝑎→−𝑏→)⊥𝑏→4．已知复数z在复平面上对应的点为（m，1），若iz为实数，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣15．下列函数中，值域为（1，+∞）的是（）A．y＝2x+1B．𝑦=1𝑥+1C．y＝log2|x|D．y＝x2+16．若数列{an}满足：a1＝1，2an+1＝2an+1（n∈N*），则a1与a5的等比中项为（）A．±2B．2C．±√3D．√37．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥体积为（）A．4B．10C．12D．308．设𝑎→，𝑏→为非零向量，则“|𝑎→+𝑏→|＜|𝑎→|+|𝑏→|”是“𝑎→与𝑏→不共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（）A．7B．9C．11D．13210．某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y＝f（t）．若f（0）＝y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f（t）的导函数f'（t）满足：f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t））（k为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（）A．①②B．①③C．②④D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．抛物线y2＝x的焦点到其准线的距离等于．12．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx，则f（﹣e）＝．13．在△ABC中，若a＝2，𝑐𝑜𝑠𝐵=−√22，△ABC的面积为1，则b＝．14．圆心在x轴上，且与双曲线𝑥23−𝑦2=1的渐近线相切的一个圆的方程可以是．15．已知a≥0，函数𝑓(𝑥)={2𝑥，𝑥≤𝑎，√𝑥，𝑥＞𝑎．若a＝0，则f（x）的值域为；若方程f（x）﹣2＝0恰有一个实根，则a的取值范围是．16．小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为（用m，k表示）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．317．（13分）已知函数f（x）=√3sinxsin（𝜋2−x）+sin2x−12．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，𝜋2]上的最大值．18．（13分）如图是2019年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．（Ⅰ）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；（Ⅱ）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据这20天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势．19．（13分）已知数列{an}为等比数列，且an＞0，数列{bn}满足bn＝log2an．若b1＝4，b2＝3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn+m}前n项和为Sn，若当且仅当n＝5时，Sn取得最大值，求实数m的取值范围．20．（14分）如图，在四棱锥C﹣ABEF中，平面ABEF⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AB∥EF，∠ABE＝90°，BE＝EF＝1，点M为BC的中点．（Ⅰ）求证：EM∥平面ACF；（Ⅱ）求证：AM⊥CE；（Ⅲ）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．21．（13分）已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的离心率为√22，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），B（4，0），过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证：|MB|•|NA|4＝|MA|•|NB|．22．（14分）已知函数f（x）＝x2ex．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【详解详析】集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：D．2．【详解详析】数据从小到大排列为1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是12×（2+3）=52．故选：C．3．【详解详析】因为𝑎→=(2，0)，𝑏→=(1，1)，则𝑎→⋅𝑏→=2×1+0×1＝2，A错误；2×1﹣0×1≠0，故B错误；|𝑎→|＝2，|𝑏→|=√2，故C错误；𝑎→−𝑏→=（1，﹣1），𝑏→⋅(𝑎→−𝑏→)=𝑎→⋅𝑏→−𝑏→2=2﹣2＝0．故（𝑎→−𝑏→）⊥𝑏→，D正确．故选：D．4．【详解详析】由题意，z＝m+i，再由iz＝i（m+i）＝﹣1+mi为实数，得m＝0．故选：B．5．【详解详析】∵2x＞0，∴2x+1＞1，即y＝2x+1的值域为（1，+∞）．故选：A．6．【详解详析】由2an+1＝2an+1，得an+1﹣an=12，又a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，以12为公差的等差数列，5则𝑎5=𝑎1+4𝑑=1+4×12=3．∴a1与a5的等比中项为±√3．故选：C．7．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为四棱锥体：𝑉=13×12(1+4)×4×3=10．故选：B．8．【详解详析】𝑎→与𝑏→不共线，则“|𝑎→+𝑏→|＜|𝑎→|+|𝑏→|”，反之不成立，例如反向共线时．∴“|𝑎→+𝑏→|＜|𝑎→|+|𝑏→|”是“𝑎→与𝑏→不共线”的必要不充分条件．故选：B．9．【详解详析】根据题意，分4种情况讨论：①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，故选：D．10．【详解详析】因为f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t）），令f'（t）＝0，则f（t）＝0或500，即当f（t）＝0或500时，曲线的切线斜率接近0，由选项可知，只有①③符合题意，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．【详解详析】抛物线y2＝x中2p＝1，∴p＝0.56∴抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于0.5故答案为：0.512．【详解详析】∵f（x）是偶函数，且x＞0时，f（x）＝lnx，∴f（﹣e）＝f（e）＝lne＝1．故答案为：1．13．【详解详析】由𝑐𝑜𝑠𝐵=−√22可得sinB=√22，因为S△ABC=12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=12×2𝑐×√22=1，所以c=√2，由余弦定理可得cosB=−√22=4+2−𝑏24√2，解可得，b=√10．故答案为：√1014．【详解详析】双曲线的渐近线方程为：y＝±√33x，设圆的圆心为（2m，0），m≠0，则圆的半径为：|2√33𝑚|√1+13=|m|，所以所求圆的方程为：（x﹣2m）2+y2＝m2，m≠0，故答案为：满足方程：（x﹣2m）2+y2＝m2的任意m（m≠0）均可．15．【详解详析】当a＝0时，f（x）={2𝑥，𝑥≤0√𝑥，𝑥＞0，当x≤0时，f（x）＝2x∈（0，1]，当x＞0时，f（x）=√𝑥＞0，故a＝0时，f（x）的值域为（0，+∞）；当方程f（x）﹣2＝0恰有一个实根即函数f（x）与y＝2图象只有一个交点，如图：由图可知，{𝑎≥0，2𝑎＜2，解之得0≤a＜1，故a的取值范围是[0，1），故答案为（0，+∞），[0，1）．716．【详解详析】依题意，若akbk＝1（1≤k≤31），则表示第k天预报正确，若akbk＝﹣1（1≤k≤31），则表示第k天预报错误，若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，假设其中有x天预报正确，即等式的左边有x个1，（k﹣x）个﹣1，则x﹣（k﹣x）＝m，解得𝑥=𝑚+𝑘2，即气象台预报准确的天数为𝑚+𝑘2；于是若a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，则气象台预报准确的天数为31+252=28．故答案为：28，𝑚+𝑘2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【详解详析】（Ⅰ）因为f（x）=√3sinxsin（𝜋2−x）+sin2x−12=√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+1−𝑐𝑜𝑠2𝑥2−12，=√32𝑠𝑖𝑛2𝑥−12𝑐𝑜𝑠2𝑥=sin（2x−𝜋6），所以f（x）的最小正周期为T＝π，（Ⅱ）因为0≤𝑥≤12𝜋，所以−𝜋6≤2𝑥−𝜋6≤5𝜋6，于是，当2x−𝜋6=12𝜋即x=13𝜋时，函数取得最大值1．18．【详解详析】（Ⅰ）由图知，在统计出的20天中，新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，设事件A为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”，则P（A）=320．8（Ⅱ）由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140，所以X的所有可能值为0，1，2．所以P（X＝0）=𝐶42𝐶62=25，P（X＝1）=𝐶21𝐶41𝐶62=815，P（X＝2）=𝐶22𝐶62=115．所以X的分布列为X012P25815115所以X的数学期望为E（X）=0×25+1×815+2×115=23．（Ⅲ）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少．预测二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当．预测三：该地区甲流疫情趋于减缓．预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发．（答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分）．19．【详解详析】（Ⅰ）由题意，设等比数列{an}的公比为q，则b1＝log2a1＝4，即a1＝24＝16．b2＝log2a2＝3，即a2＝23＝8．∴q=𝑎2𝑎1=816=12．∴数列{an}的通项公式为an＝16•（12）n﹣1＝25﹣n，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝log225﹣n＝5﹣n．故bn+m＝5﹣n+m．∴数列{bn+m}是等差数列．∵当且仅当n＝5时，数列{bn+m}的前n项和Sn取得最大值，∴{𝑏5+𝑚＞0𝑏6+𝑚＜0，即{5−5+𝑚＞05−6+𝑚＜0．解得0＜m＜1．∴实数m的取值范围是（0，1）．20．【详解详析】（Ⅰ）证明：取AC中点D，连结DM，DF，9在三角形ABC中，DM∥AB且DM=12𝐴𝐵，又因为AB＝2EF＝1，所以EF=12𝐴𝐵，又因为EF∥AB