西城区高三统一测试数学2020.4第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,复合题目要求的一项.1.设20,3xxxBxxA,或,则BA=()A.)0,(B.)3,2(C.)0,()3,2(D.)3,(2.若复数)1)(3(iiz,则z=()A.22B.52C.10D.203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是()A.2xyB.xysinC.3xxyD.xy24.设等差数列na的前n项和为nS,若5,2413aaa,则6S=()A.10B.9C.8D.75.设)1,4(),1,2(BA,则以线段AB为直径的圆的方程是()A.2)3(22yxB.8)3(22yxC.2)3(22yxD.8)3(22yx6.设cba,,为非零实数,且cbca,,则()A.cbaB.2cabC.cba2D.cba2117.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则A.SS3222,且B.SS3222,且C.SS3222,且D.SS3222,且8.设ba,为非零向量,则“baba”是“ba与共线”的()A.充分二不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知函数xxxfsin21sin)(的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是()①绕着x轴上一点旋转180°;②沿x轴正方向平移;③以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③B.③④C.②③D.②④10.设函数0,lg0,110)(2xxxxxxf若关于x的方程)()(Raaxf有四个实数解)4,3,2,1(ixi,其中4321xxxx,则))((4321xxxx的取值范围是()A.]101,0(B.]99,0(C.]100,0(D.),0(第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在6)1(xx的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量),1(),2,(2xbxa满足3ba,则实数x的取值范围是.13.设双曲线)0(14222bbyx的一条渐近线方程为xy22,则该上去西安的离心率为.14.函数)42sin()(xxf的最小正周期为;若函数)(xf在区间),0(a上单调递增,则的最大值为.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生乘积的优秀率为70%,女生成绩从优秀率为50%;乙校男生乘积的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%,对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥1111DCBAABCD中,1AA平面ABCD,底面ABCD满足22,21DCBDAAADABBCAD,且∥.(Ⅰ)求证:AB平面11AADD;(Ⅱ)求直线AB与平面11CDB所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知ABC满足,且32,6Ab,求Csin的值及ABC的面积.从BaaBsin23,34③,②①这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分14分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数2()ln(2)fxaxxax,其中a∈R(Ⅰ)若曲线()yfx在点(2,(2)f)处切线的倾斜角为4,求a的值;(Ⅱ)已知导函数()fx在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,2()fxe>-20.(本小题满分15分)设椭圆22:12xEy,直线1l经过点M(m,0),直线2l经过点N(n,0),直线1l∥直线2l,且直线1l、2l分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点。(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线1lx⊥轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线1l的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由。21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果()kkN个整数a1,a2,…,ak满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n,且a1+a2+…+ak=n,则称数组(a1,a2,…,ak)为n的一个“正整数分拆”。记a1,a2,…,ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn;a1,a2,…,ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn。(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,ak)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:fn≤gn;并求出使得等号成立的n的值。(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,ak)与(b1,b2,…,bn),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,ak=bm时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)