鲁棒控制例题

2013年春季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:鲁棒控制学生所在院（系）:航天学院学生所在学科:控制科学与工程学生姓名:学号:学生类别:考核结果阅卷人1.分别构造一个向量（3阶以上），一个矩阵（3维以上），一个向量信号（时域和频域）一个系统，并且计算课件中介绍过的常用范数。解：1）构造四阶向量[1,3,4,2]TA，411||||||10iiAa，4221||||||30iiAa，||||max||4iAa。2）构造四阶矩阵1234256197431683B，411||||||||21ijjBa41||||||||23ijiBa，2max||||()307.217.53TBBB。3）构造向量信号12()[(),()]ututut，其中3212,0,0(),()0,00,0ttetetututtt则3631112100011||||,||||,||||max||136ttttuedtuedtue2422122200011||||,||||,||||max||124ttttuedtuedtue所以1112101115|||||()|||||||||326niiuutdtuu22222122201115||||()||||||||6412iiuutdtuu1212||||max{||||,||||}1iuuu4）一个稳定系统的传递函数为10()(1)(10)Gsss首先，我们计算()Gs的单位脉冲响应。通过部分分式展开得到：1011()()9110Gsss所以，单位脉冲响应等于1010(),0()90,0tteetgtt由此可得2205|||||()|11Ggtdt另一方面，222100|()|(1)(100)Gj是连续函数，在其取最大值的频率上斜率为零。2|()|0dGjd的解为0和，由于|()|0Gj，最终得到|||||(0)|1GGj2.考虑一下柔性系统：2221111()()2APsKsss其中，93.7410K，0.41.0A，10.020.6，140004200Hz。设标称模型为刚体模型2()KPss并将一阶谐振模22111()2KAsss作为乘法不确定性处理。试求不确定性增益的上界（加权函数）()Ws以及控制对象集合的表达式。解：首先，计算实际控制对象()Ps和标称模型()Ps的相对误差222111()|1|()2PsAsPsss，由参数的取值范围可以得到：1）当10.4,0.6,4200AHz时相对误差取得最小值，此时相对误差的Bode图见下图（幅值曲线图中位于下方的曲线）：-150-100-50050Magnitude(dB)101102103104105-4504590135180Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)2）当11.0,0.02,4000AHz时，相对误差取得最大值，此时相对误差的Bode图见下图（幅值曲线图中位于下方的曲线）：-150-100-50050Magnitude(dB)101102103104105-4504590135180Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)由图可见，能够覆盖住相对误差曲线的加权函数的上界可以取为622723100.4101()0.625100.2101ssWss，其Bode图为两幅值曲线图中的上方曲线。最后，实际控制对象()Ps被包含在2()(1),,||||1KPsPWPs所表示的控制对象集合中。3.考虑含参数不确定性的控制对象(),0.81.2,0.71.31kPsks这里，设标称模型为000()1kPss并将模型不确定性作为乘法型不确定性0()1()()PssPs进行处理。不确定性越小，则越有可能设计出性能更佳的控制系统。讨论为了使不确定性()s频率响应的振幅最小，应该如何选取参数的标称值00(,)k。解：0001()()11()1sPsksPsks0000()(1)kkskkks容易判断出不确定性()s在0（即0s）和（即s）处取得最值，00lim()1sksk，0lim()1ss不确定性()s频率响应的振幅最小，即使得00max{|1|,|1|}kk达到最小，由0.81.2,0.71.3k可以得到，上式取得最小值的参数标称值为001.0,1.0k。4.求传递矩阵121111222122(),()KKKKABBABPsCDDKsCDCDDLFT联结时，闭环传递矩阵(,)lFPK的状态空间实现。解：设()Ps的状态为x，()Ks的状态为Kx，并设其输入输出关系分别为ˆˆˆˆ,(,)ˆˆlzPzFPKyu，只需推导ˆ()s和ˆ()zs之间的关系即可。这里，首先将22122yCxDDu代入u和Kx，得2212222122()KKKKKKKKuCxDCxDDuCxDCxDDDDu得出122221()[]KKKKKuIDDCxDCxDD2212222122[]KKKKKKKKKxAxBCxDDuAxBCxBDBDu把u的表达式代入Kx，x和z得到111222222222221222221[()][()][()]KKKKKKKKKKKKKKxBCBDIDDDCxABDIDDCxBDBDIDDDD11222221()[]KKKKKxAxBBIDDCxDCxDD1112222222122221[()]()[()]KKKKKKKABIDDDCxBIDDCxBBIDDDD11111222221()[]KKKKKzCxDDIDDCxDCxDD111112222122211122221[()]()[()]KKKKKKKCDIDDDCxDIDDCxDDIDDDD将这些整理成向量的形式，便得到了所需的结果(,)lFPK1112222222122221111222222222221222221111112222122211122221()()()()()()()()()KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKABIDDDCBIDDCBBIDDDDBCBDIDDDCABDIDDCBDBDIDDDDCDIDDDCDIDDCDDIDDDD