离散数学及其应用图论部分课后习题答案

作业答案：图论部分P165:习题九1、给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。（1）111,GVE，112345{,,,,}Vvvvvv，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}Evvvvvvvvvv（2）222,GVE，21VV，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}Evvvvvvvvvv（3）13331,,,DVEVV31223324551{,,,,,,,,,}Evvvvvvvvvv（4）24441,,,DVEVV31225523443{,,,,,,,,,}Evvvvvvvvvv解答：（1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。14、设G是(2)nn阶无向简单图，G是它的补图，已知12(),()GkGk，求()G，()G。解答：2()1Gnk；1()1Gnk。15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。解答：（c）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d）同构，同构函数为12()345xaxbfxxcxdxe16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。解答：（1）三条边一共提供6度；所以点度序列可能是①3，3，0，0，0，0；②3，2，1，0，0，0；③3，1，1，1，0，0；④2，2，2，0，0，0；⑤2，2，1，1，0，0；⑥2，1，1，1，1，0；⑦1，1，1，1，1，1；由于是简单图，①②两种情形不可能图形如下：（2）三条边一共提供6度，所以点度序列可能为①3，3，0；②3，2，1；③2，2，2由于是简单图，①②两种情形不可能21、在图9.20中，下述顶点序列是否构成通路？哪些是简单通路？哪些是初级通路？哪些是回路？哪些是简单回路？哪些是初级回路？（1）,,,,,abcdbe；（2）,,,,,abedba；（3）,,,,adceb；（4）,,,,;dbace（5）,,,,,,,abcdebdc；（6）,,,,,,adbecbd；（7）,,,,cdabc；（8）,,,,abceb解答：（1）构成通路，且为初级通路，因为点不重复（2）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边(,)ab（3）构成了初级通路，因为点不重复；（4）不构成通路，因为边(,)ac不存在；（5）构成通路，但是不为简单通路和初级通路，因为有重复的边(,)dc（6）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边(,)db（7）构成了初级通路；（8）简单通路，但是不为初级通路，有重复边。23、用Dijkstra标号法求图9.22中各图从顶点1v到其余各点的最短路径和距离。解答步骤1v2v3v4v5v6v7v8v1*1(,0)v1(,6)v*1(,3)v1(,)v1(,)v1(,)v1(,)v1(,)v21(,6)v*3(,5)v3(,8)v1(,)v3(,11)v1(,)v3*1(,6)v4(,6)v1(,)v3(,11)v4(,11)v4*4(,6)v2(,12)v3(,11)v4(,11)v52(,12)v*5(,7)v4(,11)v62(,12)v*7(,10)v7*2(,12)v1v到2v最短路为12vv，路长为6；1v到3v最短路为13vv，路长为3；1v到4v最短路为134vvv，路长为5；1v到5v最短路为1345vvvv，路长为6；1v到6v最短路为126vvv，路长为12；1v到7v最短路为13457vvvvv，路长为7；1v到8v最短路为134578vvvvvv，路长为10；（2）略。25、图9.23中各图有几个连通分支？给出它们所有的连通分支。解答：（a）有两个连通分支：aec和bdf；（b）有三个连通分支：abd、c和ef；（c）连通图，只有一个连通分支；（d）两个连通分支：afbgd和ech。38、写出图9.27的关联矩阵。解答：110000001011100000010001000011110110011040、写出图9.29中各图的邻接矩阵。解答：(a)1200001010010010;(b)000011010000001101000101041、设有向图,DVE，其中1234{,,,}Vvvvv，其邻接矩阵为0210001000010011A试求出D中各顶点的入度和出度。解答：出度：1234:3;:1;:1;:2;vvvv入度：1234:0;:2;:3;:2;vvvv43、有向图D如图9.29（a）所示（1）D中1v道4v长度为1，2，3，4的通路各有几条？（2）D中1v道1v长度为1，2，3，4的通路各有几条？（3）D中长度为4的通路有多少条？其中长为4的回路有多少条？（4）D中长度小于或者等于4的通路有多少条？其中多少条为回路？（5）写出D的可达矩阵。解答：1200001010010010M，则21220100112101001M，33222121022211210M，45642222144322221M，（1）D中1v道4v长度为1，2，3，4的通路各有0，0，2，2条；（2）D中1v道1v长度为1，2，3，4的通路各有1，1，3，5条；（3）D中长度为4的通路有44条；其中长为4的回路有11条.（4）D中长度小于或者等于4的通路有88条；其中22条为回路。（5）写出D的可达矩阵为1111111111111111。P181:习题十1、图10.14中的哪些图是树？解答：（a）是树；（b）不是树，因为不连通。3、无向树T有8片树叶，2个3度分支点，其余分支点都是4度顶点，问T有几个4度分支点？请画出3棵非同构的这种无向树。解答：设有x个4度分支点，则T共有8210xx个顶点。那么有9x条边。由握手定理有2(9)82341821442xxxxx所以有2个4度分支点。4、无向树T有(2,3,...,)inik个i度分支点，其余顶点都为树叶，问T有几片树叶？解答：设有x片树叶，共有2kiixn个顶点，那么有21kiixn条边，而共有2kiixin度，由握手定理可知222(1)kkiiiixinxn所以有22(2)kiixin。15、已知n阶m条边的无向图G是(2)kk棵树组成的森林。证明：mnk。证明：方法一：对变量k进行归纳当1k是，因为是一棵树，显然成立；假设n阶m条边的无向图G是1k棵树组成的森林，有(1)mnk；那么对于n阶m条边的无向图G是k棵树组成的森林，在任意两棵树中分别找一点进行连一条边，那么得到的图则为n阶m+1条边的无向图G是1k棵树组成的森林，那么1(1)mnk，所以mnk。方法二：设k棵树中，分别有in个顶点和im条边，1,2,...,ik，则有1kiimm，1kiinn，1iimn，即可得证。19、求图10.17中两个带权图的最小生成树。解答：P204:习题十一1、判断图11.22中哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？对欧拉图给出一条欧拉回路。对半欧拉图给出一条欧拉通路。对不是的，说明不是欧拉图或半欧拉图的理由。解答：（a）为欧拉图，全为偶度顶点；（b）为半欧拉图，1，2两个顶点点度为3，其它为偶数。2、判断图11.23中哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？对欧拉图给出一条欧拉回路。对半欧拉图给出一条欧拉通路。对不是的，说明不是欧拉图或半欧拉图的理由。解答：（a）为半欧拉图，a,c两点的出度和入度都相等；b点的入度比出度大1；c点的入度比出度小1.（b）为欧拉图，每个顶点的入度和出度都相等。3、判断命题的真假。（1）完全图nK是欧拉图。（2）(2)nn阶有向完全图是欧拉图。（3）当r,s为正偶数时，完全二部分图,rsK是欧拉图。解答：（1）为假，因为当n为偶数时，每个点的点度都为奇数。（2）真；有向完全图的出度和入度必然相等。（3）真，完全二部分图,rsK中，一部分点的点度全为r,另外一部分点的点度全为s。10.说明图11.25中各图不是哈密顿图，也不半哈密顿图的理由。解答：（a）删掉画圈的3个顶点，还剩下5个连通分支；（b）删掉画圈的4个顶点，还剩下6个连通分支。由定理11.2和11.3可知不是哈密顿图，也不半哈密顿图。11、设G是无向连通图，证明：若G中有桥或者割点，则G不是哈密顿图。证明：①若G中有者割点v，取{}Vv，则()2||pGVV，由书中定理11.2可知，G不是哈密顿图。②若G中有者割边12(,)evv，如果1v和2v的点度都为1，则该图只有一条边，显然不为哈密顿图；③如果1v和2v的点度至少有一个大于1，不妨设1v的点度大于1，取1{}Vv，则()2||pGVV，由书中定理11.2可知，G不是哈密顿图。