等比数列前n项和教学设计

等比数列的前n项和河北祁州中学高丽一、教学内容分析《等比数列的前n项和》是高中数学人教A版必修5第二章第五节的内容，分两个课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用。等比数列前n项和是教材中很重要的一块内容，是“等差数列”，“等差数列前n项和”与“等比数列”内容的延续，具有承上启下的作用。它对学生进一步理解等比数列以及数列的知识有很重要的作用。此公式的推导过程中所渗透的类比，分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．二、学情分析从学生的思维特点看，很难想到变加为减。在学完等差数列的前n项和的基础上，大部分学生会容易把本节内容与其从公式的形成、推导、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。但其实本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这其中需要学生强烈的探究及观察能力。另外对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在使用公式的过程中容易出错。三、教学设计意图《等比数列的前n项和公式》这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。（1）对这节教材的理解和根据高中学生的数学思维特征，确定的教学模式和教学方法以及要实现的教学目标。（2）在教学过程中，要注重激发学生的学习热情，调动学生潜在的学习积极性，启迪学生的思维，突破教材难点。利用问题探究式的教学方法对该课程进行教学，在师生的交流合作中，渗透数学知识。四、教学目标：1、知识与技能目标：通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和问题，将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题。2、过程和方法目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生数学素养、培养学生分类与整合的数学思想及学生的逻辑思维。3、情感态度与价值观目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题，了解社会，认识社会，形成科学的世界观和价值观。五、教学的重点与难点重点：等比数列前n项和公式的推导及灵活应用，及生产和社会生活中有关的实际问题。难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关生产实际及社会生活中的热点问题。六、教学过程问题与情境学情预设设计意图一、创设情境：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？学生开始讨论，分析：数学建模生：6322,2,2,1，的和，用计算器一项一项加。（学生笑）师：可以啊！但是这样工程非常浩大，计算相当繁琐。师：注意观察每项的特征，及其项与项间的联系。生：由于从第二项起每项与前一项的比值是同一个常数2，所以可以把它看成一个等比数列，因此我们要求出这个等比数列的前64项和632642221S。师：对！可是这要怎么加？探讨:我们观察发现：若将等式右边的每一项乘以一个2，就得到他后面相邻的一项。所以：632642221S…………①646326422222S…………②（学生发现相同项）将两个式子错位对齐发现有相同的部分，可以通过减法消去，②-①得：126464S（生：原来要变加为减）麦子质量超过7000亿吨！国王不可能满足西萨的要求。师：我们将这样的求和方法叫做“错位相减法”。你们有没有发现其中的关键？谁能说说这种计算的关键是什么？生：它的关键在于等式两边要同时乘以公比。还要错位相减。师：那么我们可以从特殊到一般，得出等比数列的前n项和吗？以一个故事做为切入点，该故事内容紧扣本节课主题及重点，又便于引起学生的注意，调动学生学习本节课的趣味性和积极性。学生主动思考回答问题，教师给予肯定。通过教师引导，学生观察发现该问题为求和，求和就用加法。但是要怎么加？问题提出，形成繁难的情境，激起了学生的求知欲。探讨帮助学生充分感受等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”。两个式子对其了书写，便于学生观察发现相同项。利用减法消去相同项，得到答案。这让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。对特殊题目的归纳小结，有助于学生巩固理解新的方法。二、提出问题：1、一般地，等比数列na的前n项和?1321nnnaaaaaS即求：211111...nnSaaqaqaq师：设等比数列na，首项为a1，公比为q，如何求前n项和ns？（学生众说纷纭，跃跃欲试。此时由学生表达，教师书写）推导过程：生：nnnaaaaaS1321即211111...nnSaaqaqaq等式左右两边同乘公比q得：231111...nnqSaqaqaqaq利用错位相减，把两个式子错位对齐发现：211111...nnSaaqaqaq………………①nnnqaqaqaqaqS111211...………②①、②的右边有很多相同的项。用①式两边分别减去②式两边得111nnqSaaqqqaaSnn111问题的提出的水到渠成，顺势引导学生将结论一般化，情境为等比数列前n项和的提出及其证明做好铺垫。在教师的指导下，学生体验从特殊到一般，利用错位相减法，自己探究公式，从而获得学习的快乐。证明过程的关键是在于让学生明白错位相减法，以及它的关键在于等式两边要同时乘以公比q。书写时错位对齐，给予视觉冲击，加深印象。2、由111nnqSaaq得到qqaaSnn111对不对？这里q能不能等于1？q要是等于1，这是个什么数列，前n项和ns等于什么？（提醒引导学生注意q1的取值，如果q1为0，是不能直接除掉的，所以当所给数列的公比是一个字母时，一定要讨论）生：当1q时，这个等比数列变成一个常数列，也可看成一个等差数列，所以1nSna(1)q师：当1q时，等比数列的前n项和的公式为11(1).1nnaqSqq因此等比数列na前n项和公式111111qqqaqnaSnn通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。师：等差数列前n项和公式不唯一，至少我们学了两个表达形式，那等比数列前n项和公式也有不一样的表达形式吗？生：可以用等比数列的通项公式11nnaaq因为11nnaaq，所以公式还可以写成1(1).1nnaaqSqq师：很好！公式中我们要注意几点：（1）、n为等比数列的项数；（2）、1a，na，n，q，nS“知三求二”；（3）、等比数列求和要对“1q”与“1q”分类讨论；（4）等比数列前n项和公式的特征：111(1)111nnnaqaaSqqqq，即nnSkkq形式，其中11akq，1q。若等比数列前n项和baqSnn，则0ba教师再次追问，推动学生自主探索发现，营造一个让学生主动思考、观察、讨论的学习气氛。公式得出后，教师帮助学生强调注意事项，有助于学生正确理解记忆，公式特征的归纳有助于加快学生的解题速度。三、课堂演练例1、求下列等比数列前8项的和：111,,;248例2.已知等比数列na的前4项和是404S公比q=3,求首项1a练习：已知na是等比数列完成下表解8,21,211nqa256255211)211(2188S解：例1通过直接套用公式、变式运用公式、这两个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。深刻体会“知三求二”，强调方程与函数的思想。等比数列涉及到指数问题，有时解题计算很繁琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质。通过学生板书演示，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。,3,404qS4n4031311)1(4114aqqaSn11a题号1aqnns（1）326（2）35242（学生自主解答，再请同学到黑板上演示）例3某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产量达到30万吨（保留到个位）.（教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知首项和公比求前n项和的问题。）解：由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列，记为na于是得到整理的答：5年内可以使总产量达到30万吨.例3是等比数列前n项和在实际生活中的典型应用。通过身边的例子，让学生感受数学在生活中的应用，并培养学生数学建模的能力和应用知识解决实际问题的能力。例4、等比数列na的前n项和为rSnn3，则?r生：先求321,,aaa，利用等比中项求出r师：很好，这种方法利用了方程的思想，一个未知数，只需要一个方程。教师板书：1863321aara2312aaaa1r生：把na通项公式求出来，再利用na是等比数列，就可以了。师：那我们试试看，已知nS求na要注意分1,1nn两个情况教师板书：当1n时，ra31例题4的设置，活跃了学生的思维，加强了数学思想方法的训练，通过本题学习，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，还帮助学生感受等比数列前n项和公式的特征，提高解题速度。30,1.1%101,51nSqa.301.11)1.11(5n6.11.1n50414.02041.01.1lg6.1lgn当1n时，1132nnnnSSana是等比数列，所以ra31也满足上式，1r生：等比数列na的前n项和为bqaSnn，则0ba101rr师：没错！这是很简洁的方法。直接利用等比数列前n项和的性质得到。思考题远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？生：可以看成是数学建模：已知等比数列{an}，公比q=2，n=7,S7=381,求a1由学生探究回答例4是公比的讨论问题，解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生建立数学模型思想。提醒学生解题严谨。四、课堂小结1、等比数列前n项和公式（nnSqnaa,,,,1知三求二）2、公式的推导方法3、应用题：等比数列前n项和的实际应用。师生小结：引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。给学生充分的时间独立思考、应用公式解决问题。五、布置作业1、1、知识小结：等比数列前n项和公式；等比数列的前n项和的简单运用；nnSqnaa,,,,1知三求二；2、方法小结：从特殊到一般的方法；错位相减法；方程与函数的思想方法3、作业布置：课本58页②思考：求和1324321nnnxxxxS鼓励学生积极回答，以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力，也为了加深印象。作业布置帮助学生巩固所学，思考题的给出有助于学生克服疲倦及自满心理，继续探究。六、教学反思本节教学设计重视“过程与方法”。符合新课标理念，把重点放在公式的推导及应用上。一、创设教学情境，引起学生的兴趣情境创设是为了发展学生的心理机能，激发学生的兴趣、求知欲等来增强教学效果而营造的课堂氛围。创设教学情境，让学生“触境生情”，既可以掌握数学知识和技能，又可以体验教学内容中的情感，使原本枯燥抽象的数学知识变得生动有趣。本节课通过数学史料引进课题，即可以扩展学生的数学视野，又能提高学生对数学的科学价值、应