第10章-灰色系统理论与方法

辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室本章提纲灰色系统的基础理论10.1灰色预测模型10.2灰色聚类分析10.3灰色综合评价方法10.4小结10.5辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1灰色系统的基础理论10.1.1灰色系统理论介绍10.1.2灰色系统的特点10.1.3灰色系统建模与适用范围辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.1灰色系统理论介绍灰色系统理论（GreySystemTheory）的创立源于20世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“灰色系统”一词。1982年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系统的控制问题”等系列论文，奠定了灰色系统理论的基础。他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特（Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及其应用研究。辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.1灰色系统理论介绍灰色系统是通过对原始数据的收集与整理来寻求其发展变化的规律。这是因为，客观系统所表现出来的现象尽管纷繁复杂，但其发展变化有着自己的客观逻辑规律，是系统整体各功能间的协调统一。因此，如何通过散乱的数据系列去寻找其内在的发展规律就显得特别重要。灰色系统理论认为，一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性的模型而呈现本来的规律，也就是通过灰色数据序列建立系统反应模型，并通过该模型预测系统的可能变化状态。灰色系统理论认为微分方程能较准确地反应事件的客观规律，即对于时间为t的状态变量，通过方程就能够基本反映事件的变化规律。辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.1灰色系统理论介绍目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应用，不仅成功地应用于工程控制、经济管理、社会系统、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，如在水利、气象、生物防治等方面也取得了可喜的成就。灰色系统理论在管理学、决策学、战略学、预测学、未来学、生命科学等领域有极为广泛的应用前景。辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.2灰色系统的特点概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统的研究方法，如表10.1所示。研究对象都具有不确定性，这是三者的共同点。正是研究对象在不确定性上的区别派生出三种各具特色的不确定性学科。辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.2灰色系统的特点表10.1灰色系统与概率、模糊的对比概率与数理统计样本量大、数据多但缺乏明显规律的问题，即“大样本不确定性”问题模糊数学人的经验及认知先验信息的不确定问题，即“认知的不确定性”问题灰色系统既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性”问题辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.2灰色系统的特点灰色系统着重研究概率统计、模糊数学所不能解决的“小样本、贫信息不确定”问题，并依据信息覆盖，通过序列生成寻求现实规律。其特点是“少数据建模”。与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。比如：到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15到16亿之间”就是一个灰概念，其外延是非常明确的，但如果进一步要问到底是哪个具体值，则不清楚。灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为研究不确定性系统的三种常用方法，具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良好特性，克服了数据不足或系统周期短的矛盾。辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围灰色系统GM(n,h)建模灰色建模是进行灰色预测与灰色决策的基础，其建模过程可分为五步：语言模型、网络模型、量化模型、动态模型、优化模型。五步建模过程事实上是信息不断补充，系统因素及其关系不断明确，明确的关系进一步量化，量化后关系进行判断改造的过程，是系统由灰变白的过程。辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围灰色模型和其他任何模型一样，不可能具有普遍适用性，而是有其特定的建模条件。灰色模型的特点在于其建模机理与其他模型不同，在建模的数据处理上，通过灰色序列生成找寻数据演变的规律性。在进行灰色系统建模前需要判断序列是否是光滑序列，数据序列是否满足灰指数规律。灰色系统的模型GM(n,h)是以灰色模块概念为基础，以微分拟合法为核心的建模方法。其中n表示微分方程阶数，h表示参与建模的序列个数，用得较多的是GM(1,1)模型。GM(n,h)建模原理如下：辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围定理：给定下列序列：,i＝1,2,…,h;t=1,2,…,N；有相应的一阶累加序列：,i＝1,2,…,h;t=1,2,…,N；其中：为一次累加序列；并有相应的多次累差序列：,i＝1,2,…,h；t=1,2,…,N；j=1,2,…,m。)()0(tXi)()1(tXiikiikxtx1)0()1()()(),()()(txatij辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围当j=1时有(10.1)当j=2时有(10.2)当j=3时有(10.3))()()1(),()0()1()1()1()1(txtxtxtxaiiii)()1(),()0()0()1()2(txtxtxaiii),()1,(),()1()1()1()1()1()(txatxatxaininin辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围再构造如下累差矩阵A，累加矩阵B及常向量yn(10.4)),(...,),(),(............)3,(...,),3,(),3,()2,(...,),2,(),2,()1(1)1()1(1)2()1(1)1()1(1)1()1(1)2()1(1)1()1(1)1()1(1)2()1(1)1(nxanxanxaxaxaxaxaxaxaAnnnnnn辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围(10.4)(10.6)(1)(1)(1)(1)112(1)(1)(1)(1)112(1)(1)(1)(1)1121((2)(1)),(2)...(2)21((3)(2)),(3)...(3)2............1(()(1)),()...,()2nnnxxxxxxxxBxnxnxnxn),(...)3,()2,()1(1)()1(1)()1(1)(Nxaxaxaynnnn辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围若记h个序列n阶微分方程所表达的动态模型，即GM(n,h)模型为：(10.7)则微分方程的系数向量为：可以通过最小二乘法求解；式中为由A，B组成的分块矩阵。)1(1)1(32)1(21)1(11)1(1)1(1)1(1)(......)()(nnnnnnnxbxbxbxadtxdadtxdTnnbbbaaaa),...,,,...,,(ˆ12121NTTyBABABAa)()()(ˆ1)(BA辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围灰色模型适用范围分析（一）作为预测模型，常用GM(n,1)模型，即只有一个序列变量的GM模型。这是因为对社会、经济、农业等系统效益（效果、产量、产值等）的发展变化进行分析和预测时，只需研究一个变量，即“效果”的数据序列。（二）作为状态模型，常用GM(1,h)模型。因为它可以反映h－1个变量对某一变量一阶导数的影响。当然，这需要h个时间序列，并且事先必须作尽可能客观的分析，以确定哪些因素的时间序列应计入这h个变量中。但GM(1,h)模型只能反映其它h－1个变量对某一变量的一阶导数的影响，不能反映多因素系统内各变量之间的相互作用。辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围（三）作为静态模型，一般是GM(0,h)模型，即n＝0，表示不考虑变量的导数，所以是静态。它与线性回归模型形式相似，但有本质区别，即它建立在生成数列的基础上，而线性回归模型建立在原始数据基础上。（四）Verhulst模型是对序列数据呈饱和S型曲线的情况进行预测。将二次幂非线性微分模型称为Verhulst模型。常用于人口预测、生物生长、生命周期预测和产品经济寿命预测等。如果X本身呈S形，而其一次累加呈增长型，对X仍建立GM(1,h)模型最合适。2)1()1()1()(xbaxdtdx辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.2灰色预测模型10.2.1建立灰色预测模型10.2.2灰色预测模型实例辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.2.1建立灰色预测模型灰色预测是指基于灰色动态模型GM(1,1)的预测，灰色预测模型一般指GM(1,1)模型。数列灰色预测的步骤如下：第一步：级比检验，建模可行性分析。对于给定序列，能否建立精度较高的GM(1,1)预测模型，一般可用的级比的大小与所属区间，即其覆盖来判断。事前检验准则：设,，且级比为则当时，序列可作GM(1,1)建模。)0(X)0(X)()0(knxxxX)0()0()0()0(,...,2,1)0()0()0()1(),(Xkxkx)()0(k)()1()()0()0()0(kxkxk1212)0(,)(nneek)0(X辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围第二步：数据变换处理数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落在可容覆盖中，从而对于级比不合格的序列，可保证经过选择数据变换处理后能够进行GM(1,1)建模。通常的数据变换有平移变换、对数变换、方根变换。辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围第三步：GM(1,1)建模（1）检验序列的非负性，如果序列中的数据有负数，则进行非负化处理，即所有序列数据加最小负数绝对值。对含有零的序列在事前检验时，一般要做一次累加处理，消除序列中的零。（2）设原始数据为（对含有负数的序列，则是经过非负处理并进行了一次累加以后的序列），计算一次累加序列。(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())XXXXnikikXiX1)0()1()()(辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围（3）建立矩阵(10.8)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.5((1)(2))10.5((2)(3))10.5((1)())1XXXXBXnXn辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围（4）根据公式10.9，求估计值和其中，(10.9)aˆbˆYBBBbaTT1)(ˆˆ(0)(0)(0)(2)(3)()XXYXn辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围（5）用时间响应方程，计算拟合值（6）用后减运算还原，即,i=2,,n。abeabXkXkaˆˆ)ˆˆ)1(()1(ˆˆ)0()1()(ˆ)1(iX(0)(1)(1)ˆˆˆ()()(1)XiXiXi辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3灰色系统建模与适用范围（3）建立矩阵(10.8)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.5((1)(2))10.5((2)(3))10.5((1)())1XXXXBXnXn辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3灰色聚类分析10