2015高中数学必修4第三章经典习题含答案

-第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin2π12－cos2π12的值为()A．－12B.12C．－32D.32[答案]C[解析]原式＝－(cos2π12－sin2π12)＝－cosπ6＝－32.2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()A.π23B．πC．2πD．4π[答案]B[解析]f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，故T＝2π2＝π.3．已知cosθ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝()A．－429B．－79C.429D.79[答案]C-[解析]cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×223×13＝429.4．若tanα＝3，tanβ＝43，则tan(α－β)等于()A．－3B．－13C．3D.13[答案]D[解析]tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3－431＋3×43＝13.5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是()A.54B.62C.32D．1＋23[答案]A[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.6．y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx的最小值是()A.2B．－2C．2D．－2[答案]B[解析]y＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)，∴ymax＝－2.7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝()A．－1B．－15-C.57D.17[答案]D[解析]tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝3－21＋6＝17.8．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则|PQ→|的最大值是()A.2B．2C．4D.22[答案]B[解析]PQ→＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，则|PQ→|＝cosβ－cosα2＋sinβ－sinα2＝2－2cosα－β，故|PQ→|的最大值为2.9．函数y＝cos2x＋sin2xcos2x－sin2x的最小正周期为()A．2πB．πC.π2D.π4[答案]C[解析]y＝1＋tan2x1－tan2x＝tan(2x＋π4)，∴T＝π2.10．若函数f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为π2的奇函数-B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数[答案]D[解析]f(x)＝sin2x－12＝－12(1－2sin2x)＝－12cos2x，∴f(x)的周期为π的偶函数．11．y＝sin(2x－π3)－sin2x的一个单调递增区间是()A．[－π6，π3]B．[π12，712π]C．[512π，1312π]D．[π3，5π6][答案]B[解析]y＝sin(2x－π3)－sin2x＝sin2xcosπ3－cos2xsinπ3－sin2x＝－(sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3)＝－sin(2x＋π3)，其增区间是函数y＝sin(2x＋π3)的减区间，即2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，∴kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，当k＝0时，x∈[π12，7π12]．12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5(tanαtanβ)2等于()A．2B．3C．4D．5[答案]C[解析]由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得-sinαcosβ＋cosαsinβ＝12sinαcosβ－cosαsinβ＝13，∴sinαcosβ＝512cosαsinβ＝112，∴tanαtanβ＝5，∴log5(tanαtanβ)2＝log552＝4.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.[答案]2[解析]原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为______．[答案]17250[解析]∵α为锐角，∴π6α＋π62π3，∵cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35；∴sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，-cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin2(α＋π6)＝725∴sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝sin2α－π3cosπ4－cos2α＋π3sinπ4＝17250.15．已知cos2α＝13，则sin4α＋cos4α＝________.[答案]59[解析]cos2α＝2cos2α－1＝13得cos2α＝23，由cos2α＝1－2sin2α＝13得sin2α＝13(或据sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝13)，代入计算可得．16．设向量a＝(32，sinθ)，b＝(cosθ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a∥b，则θ＝________.[答案]π4[解析]若a∥b，则sinθcosθ＝12，即2sinθcosθ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈(0，π2)，∴θ＝π4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知cosα－sinα＝352，且πα32π，求sin2α＋2sin2α1－tanα的值．[解析]因为cosα－sinα＝325，所以1－2sinαcosα＝1825，所以-2sinαcosα＝725.又α∈(π，3π2)，故sinα＋cosα＝－1＋2sinαcosα＝－425，所以sin2α＋2sin2α1－tanα＝2sinαcosα＋2sin2αcosαcosα－sinα＝2sinαcosαcosα＋sinαcosα－sinα＝725×－425325＝－2875.18．(本题满分12分)设x∈[0，π3]，求函数y＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π6)的最值．[解析]y＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π6)＝cos2(x－π6)＋2sin(x－π6)＝1－2sin2(x－π6)＋2sin(x－π6)＝－2[sin(x－π6)－12]2＋32.∵x∈[0，π3]，∴x－π6∈[－π6，π6]．∴sin(x－π6)∈[－12，12]，∴ymax＝32，ymin＝－12.19．(本题满分12分)已知tan2θ＝2tan2α＋1，求证：cos2θ＋sin2α＝0.[证明]cos2θ＋sin2α＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＋sin2α＝1－tan2θ1＋tan2θ＋sin2α＝－2tan2α1＋2tan2α＋1＋sin2α＝－tan2α1＋tan2α＋sin2α＝－sin2αcos2α＋sin2α＋sin2α＝－sin2α-＋sin2α＝0.20．(本题满分12分)已知向量a＝(cos3x2，sin3x2)，b＝(cosx2，－sinx2)，c＝(3－1)，其中x∈R.(1)当a⊥b时，求x值的集合；(2)求|a－c|的最大值．[解析](1)由a⊥b得a·b＝0，即cos3x2cosx2－sin3x2sinx2＝0，则cos2x＝0，得x＝kπ2＋π4(k∈Z)，∴x值的集合是{x|x＝kπ2＋π4，k∈Z}．(2)|a－c|2＝(cos3x2－3)2＋(sin3x2＋1)2＝cos23x2－23cos3x2＋3＋sin23x2＋2sin3x2＋1＝5＋2sin3x2－23cos3x2＝5＋4sin(3x2－π3)，则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.21．设函数f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋π2)＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)；求函数g(x)在[－π，0]上的解析式。[解析]f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x＝12cos2x－12sin2x＋12(1－cos2x)＝12－12sin2x(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π-(Ⅱ)当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)＝12sin2x当x∈－π2，0，(x＋π2)∈0，π2g(x)＝g(x＋π2)＝12sin2(x＋π2)＝－12sin2x当x∈－π，－π2时，(x＋π)∈0，π2g(x)＝g(x＋π)＝12sin2(x＋π)＝12sin2x得：函数g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－12sin2x－π2≤x≤012sin2x－π≤xπ222．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(1－tanx)·[1＋2sin(2x＋π4)]，求：(1)函数f(x)的定义域和值域；(2)写出函数f(x)的单调递增区间．[解析]f(x)＝(1－sinxcosx)(1＋2sin2xcosπ4＋2cos2xsinπ4)＝(1－sinxcosx)(2sinxcosx＋2cos2x)＝2(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.(1)函数f(x)的定义域{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．∵2x≠2kπ＋π，k∈Z，∴2cos2x≠－2.∴函数的值域为(－2,2](2)令2kπ－π2x≤2kπ(k∈Z)得kπ－π2x≤kπ(k∈Z)．-∴函数f(x)的单调递增区间是(kπ－π2，kπ](k∈Z)．精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案