双曲线练习题

圆锥曲线与方程（双曲线练习题）一、选择题1.已知方程22121xykk的图象是双曲线，那么的取值范围是（）A.B.C.D.2.双曲线22221(00)xyabab＝，的左、右焦点分别为12F,F,P是双曲线上一点，满足212|PFFF|，直线1PF与圆222xya相切，则双曲线的离心率为（）A.54B.3 C.233D.533.过双曲线2212yx的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条4.等轴双曲线222:Cxya与抛物线216yx的准线交于A,B两点，43AB＝，则双曲线C的实轴长等于（）A.2B.22C.4D.85.已知双曲线xym2219-=的一条渐近线的方程为yx53=，则双曲线的焦点到直线的距离为()A．2B.C.D.6.若直线过点(3,0)与双曲线224936xy-=只有一个公共点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条7.方程221()23xykkkR＝表示双曲线的充要条件是（）A.2k或3kB.3kC.2kD.32k二、填空题8.过原点的直线，如果它与双曲线22134yx相交，则直线的斜率的取值范围是.9.设为双曲线2214xy-=上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是．10.过双曲线22221(,0)xyabab-=的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.11.已知双曲线22221(00)xya,bab的渐近线与圆22420xyx有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（本题共3小题，共41分）12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为54；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为yx32=?13.已知双曲线22221xyab＝(a＞0，b＞0)的右焦点为(0)Fc,．（1）若双曲线的一条渐近线方程为yx且2c，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为3，求双曲线的离心率．14.已知双曲线xyab22221-=ab（0,0)的离心率233e=，原点O到过点(,0),(0,)AaBb-的直线的距离是3.2（1）求双曲线的方程；（2）已知直线5(0)ykxk=+?交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值一、选择题1.C解析：由方程的图象是双曲线知，,即2.D解析：设1PF与圆相切于点M，因为212PFFF，所以12PFF△为等腰三角形，所以1114FMPF.又因为在直角1FMO△中，2222211FMFOaca，所以1114FMbPF.①又12222PFPFaca，②222cab,③由①②③解得53c a．3.C解析：由题意知，.当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件；当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值，结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件.综上可得，有3条直线符合条件.4.C解析：设等轴双曲线C的方程为22xy．①∵抛物线2162168yxpp，，，∴42p．∴抛物线的准线方程为4x．设等轴双曲线与抛物线的准线4x的两个交点为(4),(4)(0)A,yB,yy，则()243AB|yy|y，∴23y．将4x，23y代入①，得22(4)(23)，∴4.∴等轴双曲线C的方程为224xy，即22144xy＝.∴双曲线C的实轴长为4．5.C解析：双曲线2219xym的一条渐近线方程为533myxx，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点到直线l的距离为251435513d.6.C解析：将双曲线化为标准方程为22194xy则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有3条.7.A解析：方程221()23＝xykkkR表示双曲线，当且仅当(2)(3)0kk，∴2k或3k.反之，当2k或3k时，双曲线方程中分母同号，方程221()23＝xykkkR表示双曲线.二、填空题8.33,,22∞∞解析：双曲线22134yx的渐近线方程为32yx.若直线l与双曲线相交，则3322kk或.9.解析：设,，则00,22xyxy==，即，.将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为224414xy-=，即.10.2解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN为圆的直径且点A在圆上，所以F为圆的圆心，且所以2bcaa，即22cacaa.由cea，得2ee11.(1,2]解析：由圆22420xyx化为22(2)2xy，得到圆心(20)，，半径2r．∵双曲线22221(00)xya,bab的渐近线byxa＝与圆22420xyx有交点，∴2222b ab≤，∴22ba≤．∴22112cbeaa＜＝＝≤．∴该双曲线的离心率的取值范围是(1,2]．三、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为xyabab()222210,0-=．由题意，得222212,5,4,bcaabc解得8,6.ab所以双曲线的标准方程为2216436xy-=．（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为222210,0xyabab=()由题意，得2632aba，，解得3,9,2ab所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为2219814xy-=．同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为22194yx-=．方法二：设以32yx=?为渐近线的双曲线的方程为22(0).49xyλλ-=?当λ＞时，246λ=，解得λ94．此时，所求的双曲线的标准方程为2219814xy-=．当λ＜时，296λ-=，解得λ．此时，所求的双曲线的标准方程为22194yx-=．13.解：（1）∵双曲线22221xyab＝的渐近线方程为byxa，∴若双曲线的一条渐近线方程为yx，可得1ba，解得ab.∵222cab，∴2ab.由此可得双曲线的方程为22122xy＝.（2）设点A的坐标为()m,n，可得直线AO的斜率满足13nkm，即3mn.①∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为222xyc，∴将①代入圆方程，得2223nnc，解得12nc，32 mc.将点1322Ac,c代入双曲线方程，得222231221ccab＝.化简，得2222223144cbcaab.∵222cab，∴将222bca代入上式，化简、整理，得42243204ccaa.两边都除以4a，整理，得423840ee，解得223e或22e.∵双曲线的离心率1e，∴该双曲线的离心率2e(负值舍去）.14.解：（1）因为233ca，原点O到直线：的距离ababdcab2232===+，所以1,3.ba==故所求双曲线的方程为221.3xy-=（2）把5ykx=+代入2233xy-=中,消去，整理，得22(13)30780kxkx---=.设CxyDxyCD1122(,),(,),的中点是00,（）Exy，则120215213xxkxk+==-，ykxk00255.13=+=-BEykxk0011+==-，所以000,xkyk++=即2215501313kkkkk.又,所以,即