立体几何的向量方法

第1页共8页立体几何的向量方法引言：本节课对平面向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍求平面法向量的方法，法向量的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道立体几何题将会变得更加轻松。一、平面的法向量1.定义：如果a，那么向量确叫做平面的法向量。平面的法向量共有两类（从方向上分），且有无数条法向量。几点注意：（1）法向量一定是非零向量;（2）一个平面的所有法向量都互相平行;（3）向量a是平面的法向量，向量n是与平面平行或在平面内，则有0na2.平面法向量的求法数量积法:在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量(,,)nxyz，在平面内任意找两个不共线的非零向量111222(,,),(,,)aabcbabc。根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb，由此得到关于x,y,z的方程组，解方程组取其中的一个解,即得法向量。这里根据线面垂直的判定定理，通过建立的方程组求出方程组的一组特殊解即可。【例1】在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量【练习1】已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC求平面ABC的单位法向量.la第2页共8页解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∴(,,)(2,2,1)0(,,)(4,5,3)0xyzxyz即2204530xyzxyz∵2221xyz②∴由①②得13x∴平面ABC的单位法向量为122(333，，）或122(333，，）.【练习2】在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量证明：设正方体棱长为1，以1,,DADCDD为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD则：1(1,1,1)DB，(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD因为10DBAC，所以1DBAC,同理11DBAD又因为1ADACA所以1DB平面ACD,从而1DB是平面1ACD的一个法向量.二、平面法向量的应用（一）求空间角1．求线线角（即两异面直线所成的角）：分别在异面直线nm,上取两个方向向量,,ba则异面直线nm,所成的角((0,]2)等于向量ba,所成的角或其补角，则||coscos||||abab（其中(0,]2）特殊情形：0abab,即异面直线m垂直于n。【例2】090,RtABCBCAABCABC中，现将沿着平面的111ABC法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.第3页共8页解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，设11CC则：(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD11304105342所以113010BDAF求与所成的角的余弦值为2．求线面角：直线与平面所成角的范围：[0,]2如图2-1，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，则直线AB与平面所成的角可看成是向量AB与平面的法向量n所成的锐角（如图2-1-1）或向量AB与平面的法向量n所成的钝角的余角（如图2-1-2），从而有||sin|cos,|||||ABnABnABn【例3】已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E是1CC的中点，求直线BE与平面1BBD所成的角的正弦值。解：建立空间直角坐标系，则：(1,1,0)B，1(1,1,1)B，1(0,1,)2E11(1,1,0),(1,1,1),(1,0,)2DBDBBE设平面1BBD的法向量为(,,)nxyz第4页共8页11,00000nDBnDBnDBxyxyxyzznDB令1,x则(1,1,0)n直线BE与平面1BBD所成的角为则10sin5nBEnBE直线BE与平面1BBD所成的角的正弦值1053．求面面角（即二面角）：方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．例题略方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．例题略方法3：（法向量法）构造二面角l的两个半平面、的法向量21nn、（都取向上的方向，如图所示）1）若二面角l是“钝角型”的如图甲所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角的补角，即1212coscos.||||nnnn2）若二面角l是“锐角型”如图乙所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角【例4】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面11ABC与平面ABCD所成的二面角的余弦值。1n2n图乙l1n2nl图甲第5页共8页【例5】如图，在正三棱柱111,ABCABC中，D,E分别是棱BC,1CC的中点，12,ABAA（Ⅰ）证明：1BEAB；（Ⅱ）求二面角1BABD的大小；解：（Ⅱ）由图易知：33(,,0)22D，1(3,1,0),(3,1,2)ABAB，设1111(,,)nxyz是平面1BAB的一个法向量，则1111130320xyxyz，令13,x则1(3,3,0),n33(,,0)22AD，1(3,1,2)AB，设2222(,,)nxyz是平面1DAB一个法向量，则2222233022320xyxyz，令23,x则2(3,1,1),n设二面角1BABD的平面角为，则1212||615cos5||||125nnnn（二）求空间距离1.求点到平面的距离:（推广到线面、面面之间的距离）方法：如图，易知：点A到平面的距离||cos,dPA而||cos||||PAnPAn，||||PAndn其中n是平面的一个法向量，PA是平面的斜向量则点p到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即点Ａ到平面的距离为：||||nnAPd【例6】已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1111BCCD和的中点，求点1A到平面DBEF的距离.第6页共8页2．直线与平面间的距离:方法：如图2-6,直线a与平面之间的距离：||ABndn，其中aBA,。n是平面的法向量3．平面与平面间的距离:方法：如图2-7,两平行平面,之间的距离：||ABndn，其中A、B。n是平面、的法向量。（三）平面法向量在证明中的应用1．证明线面垂直：在图2-8中，m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ma）。2．证明线面平行：在图2-9中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0ma）。3．证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0mn）4．证明面面平行：在图2-11中,m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（nm）。【例7】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面1//AEF平面1BMC。图2-7αβABn第7页共8页三课堂练习1．已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，PADAB,90底面ABCD，且PA=AD=DC=21AB=1，M是PB的中点奎屯王新敞新疆（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。2.如图3-2中，在长方体1111ABCDABCD中，已知1ABAAa，2BCa，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：1//ADABC平面；(Ⅱ)求证：111AMCABD平面平面平面；(Ⅲ)求点A到平面1AMC的距离。四用空间向量解决立体几何的“三步曲”1．建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）2．通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）【例8】:如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为等腰梯形，//ABDC,ACBD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又2BO,2PO,PBPD.(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角PABC的大小；(Ⅲ)设点M在棱PC上，且,PMMC问为何值时，PC⊥平面BMD.第8页共8页解：PO平面ABCDPOBD又PBPD，2,2BOPO，由平面几何知识得：1,2ODOCBOAO以O为原点，,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)O，(2,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，(0,1,0)D，(0,0,2)P（Ⅰ）(0,1,2)PD，(1,2,0)BC，3,5,2PDBCPDBC。cos,PDBCPDBCPDBC21515。故直线PD与BC所成的角的余弦值为21515（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz，由于(2,2,0)AB，(2,0,2)AP，由00nABnAP得2xyzx取(1,1,2)n，又已知平面ABCD的一个法向量(0,0,1)m，2cos,2mnmnmn又二面角PABC为锐角，所求二面角PABC的大小为45（Ⅲ）设00(,0,)Mxy，由于,,PMC三点共线，0022zx，PC平面BMD，OMPC00(1,0,2)(,0,)0xz0020xz由（1）（2）知：023x，023z。22(,0,)33M2PMMC，故2时，PC平面BMD。