匀速运动点电荷产生的电磁场解读

匀速运动点电荷产生的电磁场指导老师：孙老师和助教老师莫建勇pb05203125库仑定律只告诉我们一个静止的点电荷的成场规律,那么当点电荷匀速运动时的成场规律怎样呢?怎样求解一个匀速运动点电荷对另一个点电荷的作用力呢？回答是可以运用狭义相对论的理论来进行求解.问题的提出：若在一个惯性参考系k中,q2是静止的，而q1相对k系匀速运动，在k系中若要求q2对q1的作用力则直接用库仑定律即可；若要求q1对q2的作用力，可以取另一个关于q1静止的惯性参考系k’系，先在k’系中求出有关的物理量，然后用狭义相对论中的惯性系k与k’系之间的变换公式，将k’系中的物理量转化到k系中，这样就可以求出在k系中q1对q2的作用力了，并可以进一步求得匀速运动的点电荷所成的电磁场,并可检验静电磁场中的一些定理在这种情况下是否成立。基本想法:主要内容:求匀速运动点电荷形成的电场验证电场的高斯定理和检验静电场环路定理求匀速运动点电荷形成的磁场验证磁场的高斯定理导出毕奥-沙伐尔定理在做具体工作之前引进一个基本假设：电荷量不变原理：一个系统中总电量，在不同的惯性系中观察都是一样的对这条基本假设的几点看法：1.通常气体宏观上是显电中性的，假如带电物体的总电量与它的运动状（即参考系的选择）有关的话，那么我们知道气体中例如氧气中的质子与电子的运动状态不相同的，也就是说氧气分子对外是有电性的，若说这个电量很小不易被观测到，那么一个系统中的大量分子的总和一定是容易测到的，所以说明带电物体的总电量与其运动状态无关。2.我们知道电荷有一个很重要的特点：电荷是量子化的。如果说电荷总量与其运动状态有关的话，那么我们知道在狭义相对论中标量一般是在原惯性系K中测量，乘以或除以一个因子或者其它形式。总之一般都是以V为自变量的连续函数，这与电荷是量子化的相对矛盾。所以总电量应该是一个与两惯性系相对速度V无关的常量，即总电量的不变原理。3.在精度较高的电子荷质比实验中，高速运动的带电粒子的荷质比的测定实验证明符合如下关系式：cvmcvmemme22022001;1这就说明电子的总电荷不随其运动状态改变而改变.一匀速运动点电荷的电场在惯性系k中,q2是静止的，而q1相对k系以v沿x轴正向运动，取另一个关于q1静止的惯性参考系k’系设当k系与k’系的原点重合时t=t’=0rzqqryqqrxqqzyxFFF3'0'213'0'213'0'214';4';4'在k’系中可直接运用库仑定律:根据狭义相对论力的变换公式cucvFcucvFcucFxzzxyxxvFvFvFuvFyx2222222211;11;1'''由上述公式可得:22'22''1;1;cvFcvFFFzzyyxxFF注:为书写方便下文令bcvacvb1111;2222所以得到k系中的作用力rzqaqryqaqrxqqzyxFFF3'0'213'0'213'0'214;4;4LorentzTransformations得到:zzyyvtxacvvtxx';';1'22所以k系中作用力的最终表达式:22222'2'2''zyvtxazyxr232222021232222021232222021444zyvtxazqaqzyvtxayqaqzyvtxavtxqaqFFFzyx所以k系中作用力的矢量表达式:22222/302112)()(4zyvtxazkyjivtxqaqF122222/302121)()(4FzyvtxzkyjivtxqqF上式可知牛顿第三定律在这种情况下是不成立的由作用力我们可以直接得到电场直角坐标系下的表达式:22222301)()(4zyvtxaaqzkyjivtxE匀速运动点电荷的电场把电场用球坐标表示：rbaErqˆsin)1(42232021从上式可以清晰地看到匀速运动的点电荷激发的电场不再是球对称了.下面考察两个特殊的位置:1.θ=0022211ˆ04EarEraq∵a﹥1∴在点电荷速度方向电场减小为原来的a的平方分之一。2.θ=π/20021232021ˆ4ˆ14)(EarrbaEraqrq∵a﹥1∴在点电荷速度方向电场增强为原来的a倍。用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点电荷所激发电场的差异：二.验证静电场高斯定理babadbqdxqdqdqdqdsdEbaxbaabaSinbaSinbRaRarctanarctan0112223232002223200223202002232202cos22cos22sin4sin11cos11可见,以匀速运动点电荷为球心的球面为高斯面是满足高斯定理的,其他任意一个封闭的曲面都是满足高斯定理的,证明同静电学中一样,详见胡友秋等编著的电磁学p27页。00arctan00sinqbbqbqba二.检验静电场环路定理：ˆ1ˆsin11ˆ1ˆsin11ˆsinsin1EEErEEEEErrrrrrrrrrrrrE所以其旋度为:0ˆsin14cossin32/52320braqbE这就说明匀速运动的点电荷激发的电场不再满足静电场环路定理!三.匀速运动点电荷的磁场事实上在上半部分中q1在q2就已经激发出磁场了,但由于q2是静止的,所以不能通过洛仑兹力检测出来,所以必须让q2动起来！同前面方法得到k’系中的作用力0;;2zyytvx2221222'2'2''''12221'0;;1ytvvazyxrzyytvvacvtvxxLorentzTransformations得到:下面进行q2的速度在两个惯性坐标系中的转换,从而求出在k系中的作用力0'4''4'4''4'4''30212/322212202130212/3222122012213021rzqqFytvvayqqryqqFytvvatvvqaqrxqqFzyx由狭义相对论速度变换公式:0;2zyxuuvu0;1''22112'zyxuucvvvvu由狭义相对论力的变换公式:0111'11'1112'12212212'1221'2'12'1'2'1''21''cuvcvFcvvaFcuvcvFFFcuvcuvFcuvFucvFFxzzyxyyxxxxxxxF所以得到k系中的作用力04142/32221220221212/322212201221FytvvacvvyqaqFytvvatvvqaqFzyx取t=0时刻来说明问题0;41;02022121FycvvqaqFFzyx若q2相对于k系是静止的,则有(t=0)0;4;02021FyqaqFFzyx比较两种情况得到：22120214cvvyqaqFy正是因为q2在k系中以v2沿x轴正向运动而多出这么一项,这就是Lorentz力!又因为:)(22BvqFB通过比较得到:212014cvyaqB对一般情况有:EvcB21由前面得到的电场表达式得到磁场:ˆ)sin1(sin4ˆ)sin1(4sin1223221022320212bravqbravqcB下面验证磁场的高斯定理上式即q1为在q2处激发的磁场四.验证磁场高斯定理:0sin1sin4sin1sin1sinsin1122322022bravqrrrrBBBBrrr所以在这种情况磁场高斯定理是成立的五.毕奥-沙伐尔定理的证明有一根无限长通电直导线，设其电子与离子的电荷线密度为λ,求其距导线r处A的电磁场该电场是由静止的离子和运动的电子激发电场的合成1.离子激发的电场因为离子是静止的,由静电场的高斯定理:rrElrlEˆ22112.电子激发的电场由前面得到:2222)(2301)(4zyvtxaaqzkyjivtxE因为电流是稳恒的,所以不妨取t=0dxrxazkyjxiaEd2/322204由对称性,电场其垂直于导线:rdraardxarxardxrxaraE02222202/3222202/3222022cos4144A处的电场:0ˆ220021rEEE由于A点是任意的,所以通电直导线周围不存在电场.下面考察A处的磁场:ˆ)sin1(sin4223220braqvBrrlIddlrIdlbraIdxbravbradxvBd3020222022202232204ˆsin4ˆsin231sin4ˆsin231sin4ˆ)sin1(sin)(4这就是著名的毕奥-沙伐尔定理,这里用狭义相对论就可以很容易地导出.总结:从历史上看,相对论很大程度上起源于电磁学的理论研究,只是尝试了运用已学过的狭义相对论来解决一些简单问题,中间肯定难免有些不妥之处,请各位老师指正参考文献：电磁学胡友秋等中国科大出版社TheFeynmanLecturesOnPhysics力学杨维闳中国科大出版社运动系统的电磁场屠德雍高教出版社电动力学虞福春等北京大学出版社肯定有不足之处恳请大家指正谢谢大家!