变化率问题资料

3.1.1变化率问题石狮三中李榕创设情景一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：气球膨胀率问题1,):(:,334rrVdmrLV之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道.,343VVrVr那么的函数表示为体积如果把半径在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?,.,cmrrLV6200110气球半径增加了时增加到从当空气容积100.62/.10rrdmL气球的平均膨胀率为,.,,dmrrLL1601221增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地210.16/.21rrdmL气球的平均膨胀率为.,,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考21VV2121rVrVrVVV高台跳水问题2...::,,1056942ttthstmh存在函数关系单位与起跳后的时间单位面的高度运动员相对于水在高台跳水运动中人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v;/...,.smhhvt054050050500这段时间里在./.,smhhvt28121221这段时间里在播放暂停停止2121hththvttt65049,:1?2?t探究计算运动员在这段时间里的平均速度并思考下面的问题运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，)0()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．49650t)/(0msthO65496598t一、讲授新课1、平均变化率：2121fxfxxx如果上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子表示为我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率平均变化率：2121fxfxxx（1）习惯上用Δx表示x2-x1，即Δx=x2-x1，可把Δx看作是对于x1的一个“增量”，可用x1+Δx代替x2；（2）类似地，Δy=f(x2)-f(x1)可看作f(x2)相对于f(x1)的一个“增量”平均变化率可表示为：yx00的值可正可负也可为的值可正可负不可以为注意：yx2、平均变化率的几何意义f(x2)-f(x1)x2-x1y=f(x)xyOf(x2)f(x1)表示什么？平均变化率页思考课本121274)()(xxxfxfxyPAB割线AB的斜率观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121()()fxfxxx2xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)思考练习:1.甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?2.已知函数f(x)=2x+1,g(x)=–2x,分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率.(1)[–3,–1];(2)[0,5].做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2x0+Δx小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率1212)()(yxxxfxfx1212)()(yxxxfxfx题型一求平均变化率【例1】求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[思路探索]解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解．解函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f（x0＋Δx）－f（x0）（x0＋Δx）－x0＝[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2）Δx＝6x0·Δx＋3（Δx）2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.规律方法求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；(3)得平均变化率ΔyΔx＝f（x1）－f（x0）x1－x0.【变式1】在例1中，分别求函数在x0＝1，2，3附近Δx取12时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．解由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x0＝2，Δx＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k1k2k3.题型二求物体运动的平均速度【例2】以初速度v0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为：s(t)＝v0t－12gt2.(1)求物体从时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间的平均速度v；(2)求物体在t＝10s到10.4s这段时间的平均速度．[思路探索]由物体运动方程→写出位移变化量Δs→ΔsΔt解(1)由t0到t0＋Δt，则改变量为Δt.Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0＋12gt20＝Δtv0－gt0·Δt－12g(Δt)2.v＝ΔsΔt＝Δtv0－gt0·Δt－12g（Δt）2Δt＝v0－gt0－12gΔt.(2)当t0＝10s时，Δt＝0.4s，则物体在t＝10s到10.4s这段时间的平均速度v＝v0－10g－12×g×0.4＝v0－10.2g.规律方法已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化率．【变式2】动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01.解动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为＝10（20＋Δt）＋5（20＋Δt）2－10×20－5×202Δt＝210Δt＋5（Δt）2Δt＝5Δt＋210，(1)当Δt＝1时，v＝5×1＋210＝215(m/s)(2)当Δt＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)(3)当Δt＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．题型三平均变化率的实际应用【例3】(12分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．求：(1)从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温的平均变化率．(2)体温T(t)对时间t的变化率．审题指导利用平均变化率的定义求解．[规范解答](1)ΔTΔt＝T（10）－T（0）10＝12015＋15－1205－1510＝－16℃/min.∴从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温的平均变化率为－16℃/min(6分)(2)设时间的增量为Δt，则体温T(t)的改变量为ΔT＝T(t＋Δt)－T(t)＝120t＋Δt＋5＋15－120t＋5－15＝－120Δt（t＋Δt＋5）（t＋5），∴ΔTΔt＝－120（t＋Δt＋5）（t＋5）.(10分)故体温T(t)对时间t的变化率为－120（t＋Δt＋5）（t＋5）.(12分)．【题后反思】平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比．函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．【变式3】一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的膨胀率．解设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，∴ΔSΔt＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.误区警示因概念不清而出错【示例】将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为28π3，则m的值为________．[错解]∵V＝43πR3，而从R＝1到R＝m体积膨胀率为283π，∴43πm343π×13＝283π，∴m＝3283π.以上解法没有理解“膨胀率”的概念，从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率即为R∈[1，m]时的平均变化率．[正解]ΔV＝4π3m3－4π3×13＝4π3(m3－1)，∴ΔVΔR＝4π3（m3－1）m－1＝283π.∴m2＋m＋1＝7.∴m＝2或m＝－3(舍)．物理学上的平均速度、膨胀率等就是函数的平均变化率．小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：1212)()(yxxxfxfx1212)()(yxxxfxfx见Word版活页训练