第二章--序列算子与灰色序列生成

序列算子与灰色序列生成南京航空航天大学灰色系统研究所第二章2第二章序列算子与灰色序列生成引言灰色序列算子:灰色系统基于序列算子的作用，通过对原始数据处理，挖掘其变化规律,是一种就数据寻找数据的现实规律的途径。3第二章序列算子与灰色序列生成引言举例：对于给定的看上去似乎没有明显的规律性的原始数据数列：0(1,2,1.5,3)X对原始数据做一次累加生成，将所得新序列记为，则0X1X1(1,3,4.5,7.5)X4第二章序列算子与灰色序列生成引言将0X和1X作图如下：(0)XX(1)XXX1234k3210X1234k64200X的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大。1X已呈现明显的增长规律性5第二章序列算子与灰色序列生成本章结构2.12.2—均值生成算子2.32.42.5—冲击扰动系统与序列算子—准光滑序列与级比生成序列—累加生成算子与累减生成算子—累加生成序列的灰指数律6第二章序列算子与灰色序列生成冲击扰动系统与序列算子第一节BACK7第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子缓冲算子的性质冲击扰动系统预测陷阱实用缓冲算子的构造缓冲算子公理BACK本节主要内容8第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子冲击扰动系统预测陷阱本节的讨论围绕的总目标：由(0)XX展开。BACK为系统真实行为序列为冲击扰动序列:冲击扰动项。0X(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())XxxxnX(0)(0)(0)(0)12((1),(2),,())((1),(2),,())nXxxxnxxxnX12(,,,)n9第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子冲击扰动系统预测陷阱BACK冲击扰动系统预测陷阱缓冲算子公理缓冲算子性质弱化缓冲算子强化缓冲算子10第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子缓冲算子公理几种典型序列序列名称数据1数据2数据3数据4数据5单调增长序列3581214单调衰减序列151312108振荡序列12141199.5BACK11第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子缓冲算子公理什么是算子作用序列？BACK为系统行为数据系列，为作用于的算子，一阶算子作用序列：二阶算子作用序列：三阶算子作用序列：…以此类推。XXD((1),(2),,())XDxdxdxnd12121212((1),(2),,())XDDxddxddxndd123123123123((1),(2),,())XDDDxdddxdddxnddd12第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子缓冲算子公理不动点公理信息充分利用公理解析化、规范化公理缓冲算子三公理BACK13第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子缓冲算子公理弱化缓冲算子：缓冲序列比原始序列的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小。强化缓冲算子：缓冲序列比原始序列的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大。什么是缓冲算子？满足缓冲算子三公理的序列算子。BACKXDXXDX14第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子缓冲算子性质XXD定理2.2.1设为单调增长序列，为其缓冲序列，则有（1）D为弱化算子（2）D为强化算子.,,2,1,)()(nkdkxkx.,,2,1,)()(nkdkxkx定理2.2.2设为单调增长序列，为其缓冲序列，则有（1）D为弱化算子（2）D为强化算子XXD.,,2,1,)()(nkdkxkx.,,2,1,)()(nkdkxkx15第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子定理2.2.3设为振荡序列，为其缓冲序列，则有（1）D为弱化算子（2）D为强化算子XXDdkxkxdkxkxnknknknk)(min)(min)(max)(max1111dkxkxdkxkxnknknknk)(min)(min)(max)(max111116第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子实用缓冲算子的构造经典缓冲算子（SifengLiu,1991）定理2.2.4设原始数据序列和缓冲序列分别为((1),(2),,())Xxxxn((1),(2),,())XDxdxdxnd1()()(1)();1,2,,1xkdxkxkxnknnk令则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子。并称D为平均弱化缓冲算子(AWBO)。17第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子实用缓冲算子的构造例：一阶和二阶缓冲序列的计算BACKX=（36.5，54.3，80.1，109.8，143.2）11(1)()(1)()(1)(2)(5)1511136.554.380.1109.8143.284.78511xdxkxkxnxxxnk（1）计算一阶缓冲序列18第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子实用缓冲算子的构造11(2)()(1)()(2)(5)1521154.380.1109.8143.296.854xdxkxkxnxxnk；(3)111.03xd；(4)126.5xd；(5)143.2xd。BACK（2）计算二阶缓冲序列以（1）中计算结果x(k)d,k=1,2,…,5为基础，由式2.2.2可求得二阶缓冲序列。19第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子实用缓冲算子的构造计算结果如表2.2.1所示数据1数据2数据3数据4数据5原始数据序列36.554.380.1109.8143.2一阶缓冲序列84.7896.85111.03126.5143.2二阶缓冲序列112.47119.4126.91134.85143.2表2.2.1弱化缓冲序列数据BACK20第二章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子实用缓冲算子的构造强化算子(1)()();2,3,,;1,22ixkxkxkdkni设((1),(2),,())Xxxxn,令((1),(2),,())iiiiXDxdxdxnd对单调衰减序列的强化算子：BACK对单调增长序列的强化算子：1D1(1)(1),[0,1]xdx2D2(1)(1)(1),[0,1]xdx21第二章序列算子与灰色序列生成均值生成算子第二节BACK22第二章序列算子与灰色序列生成2.2均值生成算子界值与内点BACK设序列，若为新信息，则对任意，称为老信息。((1),(2),,(),(1),,())Xxxxkxkxn()xn1kn()xk设序列在处有空穴，记为，即则和为的界值；当由与生成时，则生成值为的内点。Xk()k((1),(2),,(1),(),(1),,())Xxxxkkxkxn)1(kx)1(kx()k()k)1(kx)]1(),1([kxkx新信息与老信息)1(kx23第二章序列算子与灰色序列生成2.2均值生成算子BACK界值生成：有偏算子与无偏算子定义算子D)1()1()1()()(kxkxkxdkx]1,0[5.0有偏算子：无偏算子：0.5无偏算子亦称均值生成算子。24第二章序列算子与灰色序列生成2.2均值生成算子()xk例2.3.1设某序列中为缺失数据，已知，试求的生成值。(1)13.4xk(1)19.2xk()xk0.1,0.3,0.5,0.7,0.9值0.10.30.50.70.9生成值18.6217.4616.315.1413.98()xk表2.3.1x(k)的生成值25第二章序列算子与灰色序列生成紧邻值生成：有偏算子与无偏算子2.2均值生成算子定义算子D)1()1()()()(kxkxkxdkx]1,0[有偏算子：无偏算子：无偏算子亦称紧邻均值生成算子，记为紧邻均值生成算子是均值GM(1,1）模型的基础算子。5.00.5))(,),3(),2((nzzzZ26第二章序列算子与灰色序列生成准光滑序列与级比生成序列第三节BACK27第二章序列算子与灰色序列生成2.3准光滑序列与级比生成序列1.光滑比光滑比定义准光滑序列2.级比生成级比算子定义BACK光滑比与级比相互关系如何?28第二章序列算子与灰色序列生成2.3准光滑序列与级比生成序列光滑比nkixkxkki,,3,2;)()()(11((1),(2),,())Xxxxnnkkx,,2,1,0)(序列X中的数据变化越平稳，其光滑比)(k越小。BACK29第二章序列算子与灰色序列生成2.3准光滑序列与级比生成序列准光滑序列((1),(2),,())Xxxxn，nkkx,,2,1,0)(，满足三个条件：.1,,3,2;1)()1(nkkk.,,4,3];,0[)(nkk5.0BACK30第二章序列算子与灰色序列生成2.3准光滑序列与级比生成序列级比nkkxkxk,,3,2;)1()()(BACK((1),(2),,())Xxxxnnkkx,,2,1,0)(，级比生成和：级比生成序列：按级比生成填补空穴所得的序列。(1)x()xn((1),(2),,(1),())Xxxnn31第二章序列算子与灰色序列生成2.3准光滑序列与级比生成序列几个命题(1)(1)(1());2,3,,()kkkknk命题2.4.1设是端点为空穴的序列，若采取级比生成，则命题2.4.2BACKX(1)(2)(3),()(1)(1)xxxnxnn命题2.4.3若，为单调递增序列，且有（1）（2）则当时，必有：((1),(2),,())Xxxxnnkkx,,2,1,0)(nkk,,3,2,2)(nkkk,,3,2,1)()1(],0[)(k(1)1,1k32第二章序列算子与灰色序列生成2.3准光滑序列与级比生成序列设序列(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)X,则对于2,3,4,5k,满足()2k。(2)(2)1.14,(3)1.017,(4)1.015,(5)1.085(1)xx(2)(2)1.14(1)xx,(3)(3)0.5425(1)(2)xxx(4)(4)0.3573(1)(2)(3)xxxx(5)(5)0.2856(1)(2)(3)(4)xxxxxBACK例题：33第二章序列算子与灰色序列生成2.3准光滑序列与级比生成序列对于2,3,4,5k,满足(1)1()kk若(2)不视为光滑比，则当3,4,5k时，()[0,0.5425][0,]k，而(1)[1,1.085][1,1],2,3,4kk。BACK例题：34第二章序列算子与灰色序列生成累加生成算子与累减生成算子第四节BACK35第二章序列算子与灰色序列生成2.4累加生成算子与累减生成算子累加生成使灰色过程由灰变白累减生成是灰量释放的过程累减生成算子与累加生成算子是一对互逆的序列算子。BACK累加生成与累减生成36第二章序列算子与灰色序列生成2.4累加生成算子与累减生成算子原始序列：为序列算子：则称为的一次累加生成算子，记为。r阶算子为的r次累加生成算子，记为。一次累加生成算子BACK))(,),2(),1(())(,),2(),1(()()()()()1()1()1()1()1()0(nxxxXDXnxxxXDXrrrrr习惯上，记))(