浅谈中国古代数学成就

浅谈中国古代数学成就中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国。中国古代的四大发明曾经极大地推动了世界文明的进步。同样，作为中国文化的一个重要组成部分，中国古代数学，由于其自身的历史渊源和独特的发展过程，形成了与西方迥然不同的风格，成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头。数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为“算术”即“算数之术”。中国古代数学所研究的内容大体上是今天数学教科书中的算术、代数、几何、三角等方面的内容。与世界上其他民族的数学相比，中国数学源远流长，成就卓著。本文将按照年代的顺序，巡视一下中国古代数学发展的状况。一、先秦时期————中国古代数学的萌芽中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，她也是人类文化的发源地之一。数学作为中国文化的重要组成部分，他的起源可以追溯到遥远的古代。根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽。一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：1、结绳记事中国古代记数方法的起源是很早的。据《易.系辞传》称：“上古结绳而治。”《易.九家义》明确地解释了这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。”这种结绳记事的方法是很古老的。据《史记》记载：“伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治。”这表明，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前，结绳记事这种方法就已十分流行，并且在他的时代已开始用“八卦”和“书契”等方法来代替“结绳记事”了。2、规矩的使用规矩是中国传统的几何工具。至于它们的用途，《周礼》、《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍都有明确的记载：“圆者中规，方者中矩。”说明它们分别用于圆与方的问题。它们的起源也是很早的，据《史记》记载，夏禹在治水时就“左准绳，又规矩，载四时，以开九州，通九道”。甚至在汉武梁祠中还有“伏羲手执规、女娲手执矩”的造像，将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲与女娲。规与矩的使用，对于后来几何学的产生和发展有着重要的意义，中国传统几何学大部分内容都是围绕圆与勾股形展开的，这与古代中国人擅长使用规与矩的关系是十分密切的。3、十进位制记数法、分数的应用及筹算我国自有文字记载开始，记数法就遵循十进制了。商代的甲骨文和西周的钟鼎文，都是用“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万”等字的合文来记10万以内的自然数。这种记数法已含有明显的位值制意义，只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字样取消，便和位值制记数法基本一样了。十进位值制记数法的发明，早于第二发明者印度1000多年，是我们祖先对人类文明的一项不可磨灭的、最伟大的贡献。马克思称赞它是“最妙的发明之一”。英国著名科技史专家李约瑟博士评价说：“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”而这一点又是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及的。中国古代对分数概念的认识也比较早，分数的概念及应用，在《管子》、《墨子》、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载。算筹是中国古代的计算工具。筹即小竹棍或小木棍（也有用骨、金属材料或象牙制成的）。从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年。用算筹表示数有纵横两种摆法。如下图：记数时与十进位制相配合，采用从左到右（或从上到下）纵横相间的摆法。如6728表示为；如遇零时则空一格，如6708，表示为。即使这种空位很小，也会由纵横相间的法则看出。与巴比伦相比，他们虽然也早有位值制的思想，但由于没有零的记号，辨别一个具体的数时，往往令人难以琢磨。4、最早的几何概念（早于第二发明者欧几里德（公元前330~前275）100多年。）公元前２５００年，我国战国时期的诸子百家和古希腊的数学学派一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的代表著作《墨经》记载了许多几何概念，如“平，同高也”（即两条直线或两个平面间的距离处处相等称为平行）；“中，同长也”（即直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心（球的球心）到圆周（球表面）的距离相等）；“圜，一中同长也”（即圆或球，皆有一个中心，即圆心或球心，圆周或球表面上任一点到中心的距离相等）；............这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证。在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的概念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也.”名家以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识。据《庄子》记载，名家的代表人物惠施曾提出：“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一.”这里的“大一”、“小一”有无穷大和无穷小的意思。此外，《庄子》中还记载了许多著名的论断：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”（即一尺长的木棒，第一日截去一半，第二日截去剩下一半的一半，如此下去，永远都不会截取完的）；“飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时.”（即天上飞行的鸟不一定就是动的；飞速射来的箭既不是运动的，也不是静止的）；............这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。二、汉唐时期————中国传统数学体系的形成从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成。1、《周髀算经》和勾股定理《周髀算经》原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周（公元前11世纪——公元前8世纪）。唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入《算经十书》，并改名为《周髀算经》。严格地讲，它并不是一本数学专著，而是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。该书卷首记述了一段精彩的对话：“昔者周公问于商高曰：......古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。......故禹之所以治天下者，此数之所生也。”后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是我国有关勾股定理的最早记录，这里叙述了勾股定理的一个特例。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作“商高定理”，早于第二发明者毕达哥拉斯（公元前580---公元前500）550多年。另外，在陈子与荣方的“师生对话”中，借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”如图：日高图即给出公式邪至日（弦）=22勾股中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者。他的工作主要包括三方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演；三是补图。其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。在这篇500多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理的一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为中黄实。加差实一，亦成弦实。”即如图：勾股圆方图局部以勾股作为长方形的二边，其面积是朱色直角三角形面积的二倍。以勾股差为边作中间的黄色正方形，加上四个朱色三角形与以弦为边长的正方形面积相等。这样，赵爽就利用面积割补的方法证明了勾股定理。此外，该书还介绍了许多种利用勾股定理进行测量的方法，如测量太阳的直径、太阳的高等。同时，在勾股测量与计算中，还涉及到十分复杂的分数计算，这在以前的著作中是没有的。2、《九章算术》标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书。该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1世纪初。后魏晋时人刘徽为《九章算术》做了注释，书名叫《九章算术注》，此书于魏景元4年（公元263年）成书，共9卷，现在有传本可据，是我国最可贵的数学遗产之一。中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功。也许正是这种原因，决定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系。《九章算术》全书采用问题集的形式，书中每道题皆有问有答有术，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术，全书内容丰富，且密切联系实际，《九章算术》全书共有246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明。解法大多数是正确的，有些是近似的，极少数有错误。第一章“方田”.讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法。第二章“粟米”.讲述有关粮食交换中的比例问题。第三章“衰分”.讲述配分比例和等差、等比等问题。第四章“少广”.讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。第五章“商功”.讲述各种土木工程中的体积计算。第六章“均输”.讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。第七章“盈不足”.讲述算术中盈亏问题的解法。第八章“方程”.讲述线性方程组的解法，其基本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”。“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，故《九章算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数及其运算法则。在该书的实际问题中已涉及正负数的乘除运算，但《九章算术》和刘徽注中都没有明确给出其运算法则。这是世界上最早关于正负数应用的记载。第九章“勾股”.在《周髀算经》中勾股定理的基础上，形成了应用问题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响。其成书后便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认定，该书成为“算经十书”中的重要一部，成为后来的数学家们演习、研究和著述的依据。日本数学家小苍金之助把《九章算术》说成是中国的《几何原本》。吴文俊教授也认为，《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的《几何原本》东西辉映，各具特色。3、刘徽和祖氏父子（1）、刘徽的数学成就刘徽，公元3世纪魏晋时人，于公元263年撰《九章算术注》，该书包含了刘徽本人的许多理论和创造。事实上，刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，发展《九章算术》的理论，完善《九章算术》的体系，作出了杰出的贡献。数学史界的一个普遍观点是，如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究《九章算术》，则很难深入理解《九章算术》的精髓。在算数方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论。他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，早于第二发明者印度500多年，并已接近于近代的成熟程度。他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算数中的比例理论、“盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传人印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的发展产生了较大的影响。在代数方面，《九章算术》中的线性方程组的解法以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就，前者比欧洲早1500年，后者也早了1200多年，而给出这两项算法以完整的理论说明的正是刘徽，他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同