2.3.2离散型随机变量的方差

2.3.2离散型随机变量的方差（一）高二数学选修2-3一、复习回顾1、离散型随机变量的数学期望nniipxpxpxpxXE2211)(2、数学期望的性质bXaEbaXE)()(P1xix2x······1p2pip······nxnpX数学期望是反映离散型随机变量的平均水平3、如果随机变量X服从两点分布为X10Pp1－p则pEX4、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则npEX某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？104332221111X二、互动探索21014102310321041X1234P104103102101某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？1])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10122222222222s])()()[(122212xxxxxxnsni22222)24(101)23(102)22(103)21(104s权数反映这组数据相对于平均值的集中程度的量离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipXExpXExpXExXD22121))(())(())(()(则称为随机变量X的方差。niiipXEx12))((P1xix2x······1p2pip······nxnpX称)(XD为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。三、基础训练1、已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D（X）和σ（X）。21.042.034.022.011.00EX解：2.11.0)24(2.0)23(4.0)22(2.0)21(1.0)20(22222DX095.12.1DXX2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求E（X）和D（X）。解：XcP1离散型随机变量X的分布列为：E（X）＝c×1＝cD（X）＝（c－c）2×1＝0四、方差的应用例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：9)(,9)(21XEXE8.0)(,4.0)(21XDXD表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？结合书P64“探究”思考下列问题：8)(,8)(21XEXE82.0)(,50.1)(21XDXD练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：1400)(,1400)(21XEXE在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。160000)(,40000)(21XDXD五、几个常用公式：)()(2XDabaXD)1()(ppXDX服从两点分布，则若)1()(),(~pnpXDpnBX，则若相关练习：_____)(,13)(8131DD则，且、已知_________,n1.6,D(X)8,E(X)),(2ppnBX则，～、已知3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求E(X)和D(X)。117100.82，1.98六、课堂小结1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式DXabaXD2)()1(ppDXX服从两点分布，则若)1(),(~pnpDXpnBX，则若4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数的分布列为：12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款”的概率P(A)；（2）求的分布列及期望E。5.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（a100），问a如何确定，可使保险公司期望获利？0.010.99P100－a1000.030.97P1000－a1000E=1000－0.03a≥0.07a得a≤10000故最大定为10000元。练习：1、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字)0.340.33×0.70.32×0.70.3×0.70.7p54321E=1.432.3.2离散型随机变量的方差（二）高二数学选修2-3知识回顾★求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？★在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？2112()()()(,),,(1)nniiiiiiExpDxEpEabaEbDabaDBnpEnpDnpp⑴；⑵⑶若～则求分布列→求期望→求方差1011niiipp⑴⑵★分布列性质1、设随机变量X的分布列为P(x=k)=1/4,k=1,2,3,4,则EX=。2、若X是离散型随机变量，则E(X-EX)的值是。A.EXB.2EXC.0D.(EX)3、已知X的概率分布为且Y=aX+3,EY=7/3,则a=.4、随机变量X~B(100,0.2),那么D(4X+3)=.5、随机变量的分布列为其中，a,b,c成等差，若则的值为。2X-101P1/21/31/6-101Pabc1,3ED596.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（a100），问a如何确定，可使保险公司期望获利？7、每人交保险费1000元，出险概率为3%，若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？8、设X是一个离散型随机变量，其概率分布为求：（1）q的值；（2）EX，DX。X-101P1/21-2q2q9.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数的分布列为：12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款”的概率P(A)；（2）求的分布列及期望E。10(07.20)1362862.ξ.ξ(Eξ;P(ξEξ)：安徽（本小题分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有只果蝇的笼子里，不慎混入了只苍蝇（此时笼内有只蝇子：只果蝇和只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔以表示笼内还剩下的果蝇的只数⑴写出的分布列；不要求写计算过程）⑵求数学期望⑶求概率析:审清题意是解决该题的关键.1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排列.●●☆●●●☆●，由于ξ=0“表示☆●●●●●☆●”，最后一只必为果蝇，所以有ξ=1“表示●☆●●●☆●●”P（ξ=0）=，同理有P（ξ=1）=ξ=2“表示●●☆●●☆●●”有P（ξ=2）=ξ=3“表示●●●☆●☆●●”有P（ξ=3）=ξ=4“表示●●●●☆●☆●”有P（ξ=4）=ξ=5“表示●●●●●☆☆●”有P（ξ=5）=ξ=6“表示●●●●●●☆☆”有P（ξ=6）=172788728AAA11626688628AAAA21562588528AAAA31462488428AAAA0123456p的分布列76543210123456282828282828282E⑵728628528428328228128()(2)(2)(3)(4)(5)(6)1528pEpppppp⑶11、（07，重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司交纳900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额的分布列与期望。12、若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数。（1）求方差DX的最大值；（2）求的最大值。21DXEX