IIR数字滤波器的设计(一).ppt

第5章无限脉冲响应数字滤波器的设计5.1数字滤波器的基本概念5.2模拟滤波器的设计5.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器5.1数字滤波器的基本概念1.数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：0110()1()()MrrrNkkkNnnbzHzazHzhnz图5.1.1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻π2π2π2π2πππππππππ2π2π2π22数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：()()()jjjHeHee图5.1.2低通滤波器的技术要求通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为：00()20lg()()20lg()psjpjjsjHedBHeHedBHe(5.1.3)(5.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成：20lg()20lg()psjpjsHedBHedB(5.1.5)(5.1.6)3.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。5.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。图5.2.1各种理想滤波器的幅频特性)(jaΩHΩΩΩΩ低通带通带阻高通)(jaΩH)(jaΩH)(jaΩH000c1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj(5.2.1)(5.2.2)如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为以上技术指标用图5.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止频率，因2210lg()10lg()papsasHjHj(5.2.3)(5.2.4)()1/2,20lg()3acacHjHjdB图5.2.2低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此2()()()()()aasjaaHjHsGsHjHj(5.2.5)2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：221()1()aNcHj(5.2.6)图5.2.3巴特沃斯幅度特性和N的关系将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：21()()1()aaNcHsHssj(5.2.7)此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：1121()222(1)()kjNNkccsje(5.2.8)图5.2.4三阶巴特沃斯滤波器极点分布为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表示式为10()()NcaNkkHsss设N=3，极点有6个，它们分别为23012321334135jccjcjccjcsessesesse取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：32233()()()()aajjcccHssss由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101()()aNkkccHsss(5.2.10)101()()aNkkHppp(5.2.11)式中，pk为归一化极点，用下式表示：将极点表示式(5.2.12)代入(5.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：121()22,0,1,,1kjNkpekN(5.2.12)/10/10221()101()10psapNcaNsc将Ω=Ωs代入(5.2.6)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入(5.2.4)式中，得到：(5.2.14)(5.2.15)由(5.2.14)和(5.2.15)式得到：/10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak,则N由下式表示：lglgspspkN(5.2.16)用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(5.2.14)式或(5.2.15)式求出，由(5.2.14)式得到：10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs由(5.2.15)式得到：(5.2.17)(5.2.18)总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用(5.2.16)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(5.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(5.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。表5.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数例5.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN(2)按照(5.2.12)式，其极点为3455016523754,,jjjjjsesesesese按照(5.2.11)式，归一化传输函数为401()()akkHppp上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5.2.1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.00005432432101()aHppbpbpbpbpb式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。按照(5.2.17)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads将Ωc代入(5.2.18)式，得到：将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：554233245432()10cacccccHssbsbsbsbsb3.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：1)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)则用下式转换：1(5.2.41)1()()HjGj(5.2.40)图5.2.9低通与高通滤波器的幅度特性模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率Ω′p，阻带上限频率Ω′s，通带最大衰减αp，阻带最小衰减αs。(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(5.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p；②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s；③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(5.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/Ωc代入H(q)中，得例5.2.3设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。()()cpsHsGp(5.2.42)解①高通技术要求：fp=200Hz,αp=3dB;//3dbfcfs=100Hz,αs=15dB归一化频率1,0.5pspsccffff②低通技术要求：11,23,15psspsdBdB③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1()221psspssppspspkkNNGpppp④求模拟高通H(s)：2)低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图5.2.10所示。33223()()222cpcccscpsHsGpsssf112220/,//,/sssslluuluBBBB图5.2.10带通与低通滤波器的幅度特性表5.2.2η与λ的对应关系由η与λ的对应关系，得到：2202201upul由表5.2.2知λp对应ηu，代入上式中，有(5.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于pj(5.2.43)将(5.2.43)式代入上式，得到：220220pjqpq将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：22()()()()luulluulspsspsHsGp(5.2.44)(5.2.45)上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl下阻带上限频率Ωs1,上阻带下限频率Ωs2通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=Ωu-Ωl与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：121220,,,sslssluuluBBBB(2)确定归一化低通技术要求：λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs。(3)设计归一化低通G(p)。(4)由(5.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。22222010211,,sspssss例5.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB。解(1)模拟带通的技术要