2-3-2.3.2-离散型随机变量的方差-课件(52张)

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修2-3第二章概率成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3概率第二章第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-32.3随机变量的数字特征第二章第2课时离散型随机变量的方差第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3课前自主预习第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试问：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？试想利用什么指标可以比较加工质量？第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-31.数学期望(均值)的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则(1)Y也是随机变量，(2)E(aX＋b)＝________.2．二点分布、二项分布及超几何分布的数学期望(均值)(1)二点分布：E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝________.(2)二项分布：在n次独立重复试验中，X～B(n，p)，则E(X)＝________.(3)超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，而E(X)＝________.aE(X)＋bpnpnMN第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3一、离散型随机变量的方差与标准差一般地，设一个离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差．D(X)的算术平方根DX叫做离散型随机变量X的标准差．理解方差的概念要注意以下几点：第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-31．D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用DX来描述X的分散程度．2．D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的概率分布唯一确定．3．随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X的取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小，显然D(X)≥0，标准差与随机变量本身有相同的单位．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3下列说法正确的是()A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ的取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值[答案]C[解析]由离散型随机变量的期望与方差的定义可知，C正确．故选C．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3二、离散型随机变量方差的性质设X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是一个离散型的随机变量，并且有D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)．证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，那么Y也是随机变量．所以Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axn＋bPp1p2…pn第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.D(aX＋b)＝(ax1＋b－aE(X)－b)2p1＋(ax2＋b－aE(X)－b)2p2＋…＋(axn＋b－aE(X)－b)2pn＝a2[(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn]＝a2D(X)．特别地，(1)当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0；第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3(2)当a＝1时，D(X＋b)＝D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；(3)当b＝0时，D(aX)＝a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．利用上述公式可以简化求随机变量的方差的过程．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3[答案]A已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝13，k＝1、2、3，则D(3ξ＋5)＝()A．6B．9C．3D．4[解析]E(ξ)＝(1＋2＋3)×13＝2，D(ξ)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23，∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.故选A．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3三、二点分布、二项分布与超几何分布的方差1．若X服从参数为p的二点分布，则D(X)＝p(1－p)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．2．对于二点分布，假设在一次试验中某事件发生的概率为p，X是一次试验中此事件发生的次数，令q＝1－p，则P(X＝0)＝q，P(X＝1)＝p，可得E(X)＝0×q＋1×p＝p.D(X)＝(0－p)2P(X＝0)＋(1－p)2P(X＝1)＝p2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)[p＋(1－p)]＝p(1－p)．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-33．超几何分布，若随机变量X服从超几何分布，则D(X)＝nMN(1－MN)N－nN－1.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3设X～B(n，p)，则有()A．E(2X－1)＝2npB．D(2X＋1)＝4np(1－p)＋1C．E(2X＋1)＝4np＋1D．D(2X－1)＝4np(1－p)[答案]D[解析]因为X～B(n，p)，所以D(x)＝np(1－p)，于D(2X－1)＝4D(X)＝4np(1－p)，故选D.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3四、离散型随机变量方差的求法1．求离散型随机变量的方差和标准差的步骤：(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个值的概率；(3)列出分布列；(4)利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求出随机变量的期望E(X)；(5)代入公式D(x)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差D(X)；(6)代入公式σ(x)＝DX求出随机变量的标准差σ.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-32．由已知离散型随机变量的分布列求方差，主要是利用方差的概念进行求解，但若分布列中有待定字母，必须先利用分布列的性质求出待定字母的值，然后再求方差．3．由已知离散型随机变量的方差求另一离散型随机变量的方差，主要是利用离散型随机变量函数的方差公式进行计算，即利用离散型随机变量的方差的性质求解．4．对于特殊的分布列，可直接利用公式求解．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．[解析](1)X服从二点分布X01P1212所以E(X)＝p＝12，D(X)＝p(1－p)＝12×1－12＝14.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3(2)依题意可知，X～B10，12，∴E(X)＝np＝10×12＝5，D(X)＝np(1－p)＝10×12×1－12＝52.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3课堂典例探究第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3已知某运动员投篮命中率p＝0.6.(1)求一次投篮命中次数ξ的期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差．[分析](1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数ξ服从两点分布．(2)重复五次投篮的投中次数ξ服从二项分布．两点分布与二项分布的方差第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3[解析](1)投篮一次命中次数ξ的分布列为ξ01P0.40.6则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．由二项分布期望与方差的计算公式，有E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3[方法总结]求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点：(1)写出离散型随机变量的分布列；(2)正确应用期望与方差公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式)．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3[答案]D[解析]显然X服从两点分布，∴D(X)＝m(1－m).设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m，令随机变量X＝1A发生0A不发生，则X的方差D(X)＝()A．mB．2m(1－m)C．m(m－1)D．m(1－m)第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定这两个保护区的管理水平．[分析]解决此类问题的方法是比较ξ的数学期望和方差的大小，从而得出结论．方差的实际应用ξ0123P0.30.30.20.2η012P0.10.50.4第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3[解析]甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差为E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差为：E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(η)＝(0－1.3)×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)×0.4＝0.41.因此E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区的违规事件次数更集中和稳定．[方法总结]在实际问题中，仅靠期望值还不能完全说明随机变量的分布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-3有甲、乙两个单位都愿聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据