概率论与数理统计复习资料要点总结

1《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系ABABAABBABA2．运算规则（1）BAABABBA（2）)()()()(BCACABCBACBA（3）))(()()()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA3．概率)(AP满足的三条公理及性质：（1）1)(0AP（2）1)(P（3）对互不相容的事件nAAA,,,21，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（4）0)(P（5）)(1)(APAP（6）)()()(ABPAPBAP，若BA，则)()()(APBPABP，)()(BPAP（7）)()()()(ABPBPAPBAP（8）)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(BP，则)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP若nBBB,,21为完备事件组，0)(iBP，则有（3）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7．事件的独立性：BA,独立)()()(BPAPABP（注意独立性的应用）2第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，iipxXP)(满足（1）0ip，（2）iip=1（3）对任意RD，DxiiipDXP:)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(xf，满足（1）1)(,0)(-dxxfxf；（2）badxxfbXaP)()(；（3）对任意Ra，0)(aXP3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(pBpXP)1(，pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnBnkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(，npnpqPoisson分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk几何分布)(pG,2,1,)(1kpqkXPkp12pq均匀分布),(baUbxaabxf,1)(，2ba12)(2ab指数分布)(E0,)(xexfx121正态分布),(2N222)(21)(xexf24．分布函数)()(xXPxF，具有以下性质（1）1)(,0)(FF；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(aFbFbXaP，特别)(1)(aFaXP；（5）对离散随机变量，xxiiipxF:)(；（6）对连续随机变量，xdttfxF)()(为连续函数，且在)(xf连续点上，)()('xfxF5．正态分布的概率计算以)(x记标准正态分布)1,0(N的分布函数，则有（1）5.0)0(；（2）)(1)(xx；（3）若),(~2NX，则)()(xxF；3（4）以u记标准正态分布)1,0(N的上侧分位数，则)(1)(uuXP6．随机变量的函数)(XgY（1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；（2）X连续，)(xg在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11ygygfyfXY，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量1．二维离散随机向量，联合分布列ijjipyYxXP),(，边缘分布列iipxXP)(，jjpyYP)(有（1）0ijp；（2）ijijp1；（3）jijipp，iijjpp2．二维连续随机向量，联合密度),(yxf，边缘密度)(),(yfxfYX，有（1）0),(yxf；（2）1),(yxf；（3）GdxdyyxfGYXP),()),((；（4）dyyxfxfX),()(，dxyxfyfY),()(3．二维均匀分布其它0,),(,)(1),(GyxGmyxf，其中)(Gm为G的面积4．二维正态分布),,,,(~),(222121NYX，其密度函数（牢记五个参数的含义）2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(yyxxyxf且),(~),,(~222211NYNX；5．二维随机向量的分布函数),(),(yYxXPyxF有（1）关于yx,单调非降；（2）关于yx,右连续；（3）0),(),(),(FyFxF；（4）1),(F，)(),(xFxFX，)(),(yFyFY；（5）),(),(),(),(),(111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP；（6）对二维连续随机向量，yxyxFyxf),(),(246．随机变量的独立性YX,独立)()(),(yFxFyxFYX（1）离散时YX,独立jiijppp（2）连续时YX,独立)()(),(yfxfyxfYX（3）二维正态分布YX,独立0，且),(~222121NYX7．随机变量的函数分布（1）和的分布YXZ的密度dxxzxfdyyyzfzfZ),(),()(（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征1．期望(1)离散时iiipxXE)(，iiipxgXgE)())((；(2)连续时dxxxfXE)()(，dxxfxgXgE)()())((；(3)二维时jiijjipyxgYXgE,),()),((，dydxyxfyxgYXgE),(),()),(((4)CCE)(；（5）)()(XCECXE；（6）)()()(YEXEYXE；（7）YX,独立时，)()()(YEXEXYE2．方差（1）方差222)()())(()(EXXEXEXEXD，标准差)()(XDX；（2）)()(,0)(XDCXDCD；（3）)()(2XDCCXD；（4）YX,独立时，)()()(YDXDYXD3．协方差（1）)()()())]())(([(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov；（2）),(),(),,(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov；（3）),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov；（4）0),(YXCov时，称YX,不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；5（5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD4．相关系数)()(),(YXYXCovXY；有1||XY，1)(,,1||baXYPbaXY5．k阶原点矩)(kkXE，k阶中心矩kkXEXE))((第五章大数定律与中心极限定理1．Chebyshev不等式2)(}|)({|XDXEXP或2)(1}|)({|XDXEXP2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量nXXX,,,21独立同分布2)(,)(iiXDXE，则),(~21nnNXnii近似，或),(~121nNXnnii近似或)0,1(~1NnnXnii近似，（2）设m是n次独立重复试验中A发生的次数，pAP)(，则对任意x，有)(}{limxxnpqnpmPn或理解为若),(~pnBX，则),(~npqnpNX近似第六章样本及抽样分布1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值niiXnX11（)(XE，nXD2)(）；样本方差niiXXnS122)(11（22)(SE）样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXn11，样本k阶中心矩nikikXXn1)(12．统计量：样本的函数且不包含任何未知数3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2分布)(~2222212nXXXn，其中nXXX,,,21独立同分布于标准正态分布)1,0(N，若)(~),(~2212nYnX且独立，则)(~212nnYX；6（2）t分布)(~/ntnYXt，其中)(~),1,0(~2nYNX且独立；（3）F分布),(~//2121nnFnYnXF，其中)(~),(~2212nYnX且独立，有下面的性质),(1),(),,(~11221112nnFnnFnnFF4．正态总体的抽样分布（1）)/,(~2nNX；（2）)(~)(11222nXnii；（3）)1(~)1(222nSn且与X独立；（4）)1(~/ntnSXt；（5）)2(~)()(21212121nntnnnnSYXt，2)1()1(212222112nnSnSnS（6）)1,1(~//2122222121nnFSSF第七章参数估计1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min}{ix或max}{ix）3．估计量的评选原则(1)无偏性：若)ˆ(E，则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4．参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间2已知nxu/][2nux2未知nsxt/])1([2nsntx2未知222)1(sn])1()1(,)1()1([2212222nsnnsn