中考数学常见题型几何动点问题

1/8中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题例1：在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC的面积；(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？例2:()已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A→B→C→E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，（1）写出y与x的关系式(2)求当y＝13时，x的值等于多少？例3：如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果关于x的函数y的图象如图2所示，那么△ABC的面积为（）A．32B．18C．16D．10例4：直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．例5：已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC△的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒．（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．ACBxAOQPByCPQBAMN2/8例6：如图（3），在梯形ABCD中，906DCABAAD∥，°，厘米，4DC厘米，BC的坡度34i∶，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设PBQ△的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。例7：如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？例8：如图，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MNAB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．例9：（如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度图（3）CcDcAcBcQcPcEcAQCDBP3/8ABOCDPQ运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？例10.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(0x)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．练习11．如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿ABC方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy．（1）当01x≤≤时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当12x≤≤时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ∠的变化范围；（4）当02x≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．[解]（1）当01x≤≤时，2APx，AQx，212yAQAPx，即2yx．（2）当12ABCDABPQSS正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，OAPDBQCABDCPQMN（第25题）BCPODQABPCODQAy321O12x4/822BPx，AQx，211222222xx，43x．（3）当413x≤≤时，2AB，22PBx，AQx，2223222AQBPxxyABx，即32yx．作OEAB⊥，E为垂足．当423x≤≤时，22BPx，AQx，1OE，BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx32x，即32yx．90180POQ≤∠≤或180270POQ≤∠≤（4）如图所示：2.如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD＝433,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.[解]（1）直线AB解析式为：y=33x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，33x+3），那么OD＝x，CD＝33x+3．∴OBCDS梯形＝2CDCDOB＝3632x．由题意：3632x＝334，解得4,221xx（舍去）∴Ｃ（２，33）方法二：∵23321OBOASAOB,OBCDS梯形＝334，∴63ACDS．由OA=3OB，得∠BAO＝30°，AD=3CD．321O12xy435/8∴ACDS＝21CD×AD＝223CD＝63．可得CD＝33．∴AD=１，OD＝２．∴C（２，33）．（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P（3，33）．②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=33OB=1．∴2P（1，3）．当∠OPB＝Rt∠时③过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°过点P作PM⊥OA于点M．方法一：在Rt△PBO中，BP＝21OB＝23，OP＝3BP＝23．∵在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，∴OM＝21OP＝43；PM＝3OM＝433．∴3P（43，433）．方法二：设Ｐ（x，33x+3），得OM＝x，PM＝33x+3由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．∵tan∠POM==OMPM=xx333，tan∠ABOC=OBOA=3．∴33x+3＝3x，解得x＝43．此时，3P（43，433）．④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．∴PM＝33OM＝43．∴4P（43，43）（由对称性也可得到点4P的坐标）．当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：6/81P（3，33），2P（1，3），3P（43，433），4P（43，43）．3．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且ABBD=85，求这时点P的坐标。[解](1)作BQ⊥x轴于Q.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠BAQ＝∠COA＝60°在RtΔBQA中,BA=4,∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=32AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,∴OQ=OA-AQ=7-2=5∵点B在第一象限内,∴点B的的坐标为(5,32)(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,∴点P的坐标为(4,0)若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4∴点P的坐标为(-4,0)∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)(3)若∠CPD=∠OAB∵∠CPA=∠OCP+∠COP而∠OAB=∠COP=60°,∴∠OCP=∠DPA此时ΔOCP∽ΔADP∴APOCADOP∵85ABBD7/8∴2585ABBD,AD=AB-BD=4-25=23AP=OA-OP=7-OP∴OPOP7423得OP=1或6∴点P坐标为(1,0)或(6,0).4．已知：如图①，在RtΔABC中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设ΔAQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtΔABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把ΔPQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．解：（1）在Rt△ABC中，522ACBCAB，由题意知：AP=5－t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴ACAQABAP，∴5542tt，∴710t．（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△APH∽△ABC，∴BCPHABAP，∴3PH55t，∴tPH533，∴ttttPHAQy353)533(221212．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴)24(32)5(tttt，解得：1t．若PQ把△ABC面积平分，则