第10章--平面图形的几何性质

AppendixⅠPropertiesofPlaneAreas——反映平面图形的形状与尺寸的几何量NFANElFlA如：本章介绍：平面图形几何性质的定义、计算方法和性质在轴向拉（压）中：§10.1静矩与形心一、静矩整个图形A对x轴的静矩：整个图形A对y轴的静矩：ydA——微面积dA对x轴的静矩xdA——微面积dA对y轴的静矩定义：（面积矩）其值：+、-、0单位：m3AxAySdAyAxSdxyOAydAx二.形心坐标AAyyAAxxACACddCxyCCxyO由理论力学中,均质薄板求质心的公式即ASyASxxCyC由此得出CxCyAySxAS性质1若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零.反之,图形对某轴静矩为零，则该轴必过形心.[例]求三角形ABC对底边BC的静矩解:)(,yhhbDEbDEhyhbhABCOyxdyDEyyyyhhbSxd)(dhAxxxdxxhhbdSS0)(积分得：203261312bhxxhhbShx3)21(hbhSx三、组合图形的静矩和形心组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等）组成的平面图形如：1.静矩AxAySdnAAAy1dniAiAy1dnixiS12.形心CyA1AxAxCiniiCniCiiyA1xyOCxCyCniyiySS1CxAniCiixA11AyAyCiniiCASyxC例确定形心坐标mm2302001003020021530200mm5.1572211yAyA21AA解：取参考坐标系xy2002003030x（参考轴）yyCC§10.2惯性矩惯性积惯性半径一、惯性矩与惯性积整个图形A对x轴的惯性矩整个图形A对y轴的惯性矩y2dA——微面积dA对x轴的惯性矩x2dA——微面积dA对y轴的惯性矩定义：其值：+单位：m4AxAyId2AyAxId2xyOAydAx1.惯性矩2.极惯性矩即：AAId2pxyIIIpAAAyAxdd22平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和性质2xyOAydAxAAyxd22若x、y轴为一对正交坐标轴整个图形A对x轴和y轴的惯性积定义：xydA——微面积dA对x轴和y轴的惯性积的坐标轴其值：+、-、0单位：m4AxyAxyId假设：x轴和y轴为一对相互垂直3.惯性积xyOAydAx二.惯性积的性质当x、y轴中有一轴为对称轴xyOAxyAxyIdniiiiiiiAAyxAyxi10limniiiiAAyxi210lim0xyAxyA-在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯性积为零。性质3：(1).矩形截面xI123bh123hbIy1xIxCyydydAOx1y222dhhybyh2__h2__b2__b2__AAyd2AAyd2hyby02d33bh三.常用图形的惯性矩：AAId2p)dπ2(202d32π4ddπ2dA2/04)4π(2d(2).圆形截面OdD324dpIIIyx由对称性yxII21pI444416464DdD644d(3).环形截面dxyOp21IIIyx惯性矩——对某一轴而言极惯性矩——对某一点而言特别指出：惯性积——对某一对正交轴而言——图形对x轴的惯性半径单位：mAIixxAIiyy2AIxxi2AIyyi四、惯性半径在力学计算中，有时把惯性矩写成即：——图形对y轴的惯性半径§10.3平行轴定理定理推导bxxC2AaIICxxayyCCxIAxAyId2ACAayd)(2AACAaaAyd2d22ACAyd0Aa2即：yOAxCdAyxxccycyxcab2AaIIcxx2abAIIAbIICCCyxxyyyCyyIICxxII显然：性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理惯性矩和惯性积的平行轴定理yOAxCdAyxxccybacyxc解：cccyyyIII1220030347mm1005.2123020031230200342mm302005.57121AIIccxx1a47mm1098.3222AIIccxx2acccxxxIII47mm1001.6cxIcyI例求和III200200303047mm1003.2xcCcyc157.5a1a2xC1xC2§10.4转轴公式主惯性矩一、公式推导规定：角逆时针转向为+sincos1yxx两组坐标系之间的关系：sincos1xyy代入AyxAyAxAyxIAxIAyId,d,d1121211111xyOdAyxAx1y1x11y显然11yxyxIIIIconstpI2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIIIxyOdAyxAx1y1x11y显然constpI性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯性矩。11yxyxIIIIxyOdAyxAx1y1x11y二、主惯性矩1.定义主惯性轴——惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴——通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩——图形对形心主惯性轴的惯性矩性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴2.确定主惯性轴的位置设0是旧轴x逆时针转向主惯性轴x0的角度，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得02cos2sin200xyyxIII可改写为yxxyIII22tan0（注：将负号置于分子上有利于确定20角的象限）由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯性矩的转轴公式，化简后可得主惯性矩的计算公式：IIIIIIxyyxyxx2242120IIIIIIxyyxyxy2242120极大值Imax极小值Imin例计算所示图形的形心主惯性矩.解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.过形心C选一对座标轴yz轴，计算其惯性矩(积).101012025C4020yz2035AaIICyy2AbIICzz2abAIICCzyyz107010121[]101201510120121[323yI424mm.100])25(70mm104.27844zI093.1)2(tan20IzIyIyzzyII02在第三象限6.227208.1130分别由y轴和z轴绕C点逆时针转113.8º得出.形心主惯性轴y0,z0mm103.97]1070)35()25(0[]1012020150[44yzI101012025C4020yz2035101012070形心主惯形矩为C4020yzy00=113.8°z0mm103214)(21244220yzzyzyyIIIIIImm104.574)(21244220yzzyzyzIIIIII例题在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主矩.(b=1.5d)解：（1）建立坐标系如图.（2）求形心位置.db2dyzOdddddAAzzAAAyyiiii177.04π34π200222（3）建立形心坐标系，求CyICzICCzyIyCzCC422422322685.0])177.05.0(4π64π[)177.0(312)2(5.1])5.0([1dddddddddzdAIzAIIIIyyyyyCCC圆圆矩矩圆矩443513.064π122)5.1(ddddIIICCCzzz圆矩0CCzyIdb2dyzOyCzCCCzyC便是形心主轴CCzyII便是形心主惯性矩所以