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第七章学习目标♦掌握线性相位FIR数字滤波器的特点♦掌握窗函数设计法♦理解频率抽样设计法♦了解设计FIR滤波器的最优化方法♦理解IIR与FIR数字滤波器的比较本章作业练习P388:♦1♦7♦9(1)(2)♦10(1)第七章FIRFIRFIRFIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计但相位非线性FIR数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算但阶次比IIR滤波器要高得多一、线性相位FIR滤波器的特点FIR滤波器的单位冲激响应：()01hnnN≤≤−10()()NnnHzhnz−−==∑系统函数：在z平面有N–1个零点在z=0处是N–1阶极点h(n)为实序列时，其频率响应：1、线性相位条件()()jjHeeωθω=±即群延时是常数()ddθωτω−=0()θωβτω=−第二类线性相位：()θωτω=−第一类线性相位：10()()NjjnnHehneωω−−==∑()()jHeθωω=线性相位是指是的线性函数()θωω()()jjHeeωθω=±10()()NjjnnHehneωω−−==∑()θωτω=−第一类线性相位：()jjHeeωωτ−=±()()()10()coscosNjnHehnnωωτω−=±=∑()()()10()sinsinNjnHehnnωωτω−=±=∑()()()()()()()1010sinsincoscosNnNnhnntghnnωωτωτωτω−=−===∑∑()()()()()()1100sincoscossin0NNnnhnnhnnωτωωτω−−==−=∑∑()()10sin0Nnhnnτω−=−=⎡⎤⎣⎦∑♦第一类线性相位的充要条件：()θωτω=−()(1)01hnhNnnN=−−≤≤−12Nτ−=n=(N–1)/2为h(n)的偶对称中心()()10sin0Nnhnnτω−=−=⎡⎤⎣⎦∑♦第二类线性相位的充要条件：0()θωβτω=−()(1)01hnhNnnN=−−−≤≤−12Nτ−=0/2βπ=±n=(N–1)/2为h(n)的奇对称中心2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点1100()()(1)NNnnnnHzhnzhNnz−−−−====±−−∑∑1(1)0()NNmmhmz−−−−==±∑(1)1()NzHz−−−=±1mNn=−−令系统函数：()(1)01hnhNnnN=±−−≤≤−由1(1)0()NNmmzhmz−−−==±∑(1)11()()()2NHzHzzHz−−−⎡⎤=±⎣⎦得11(1)001()()2NNnNnnnhnzzhnz−−−−−==⎡⎤=±⎢⎥⎣⎦∑∑1(1)01()2NnNnnhnzzz−−−−=⎡⎤=±⎣⎦∑11122120()2NNnnNNnzzzhn−−⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠−=⎡⎤±⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑()(1)1()NHzzHz−−−=±由11221cos221sin2jNNnnzeNnzzNjnωωω−−⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=⎧−⎡⎤⎛⎞−+⎜⎟⎪⎢⎥⎝⎠±⎪⎣⎦=⎨−⎡⎤⎛⎞⎪−−⎜⎟⎢⎥⎪⎝⎠⎣⎦⎩()11122120()2NNnnNNnzzHzzhn−−⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠−=⎡⎤±⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑112011201()cos2()()1()sin2jNNjnjzeNNjnNehnnHeHzNjehnnωωωωωω−−−==−−−=⎧−⎡⎤⎛⎞−⎜⎟⎪⎢⎥⎝⎠⎪⎣⎦==⎨−⎡⎤⎛⎞⎪−⎜⎟⎢⎥⎪⎝⎠⎣⎦⎩∑∑+−cos2jxjxeex−+=♦频率响应：()(1)hnhNn=−−11201()()()cos2jNNjjzenNHeHzehnnωωωω−−−==−⎡⎤⎛⎞==−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑12Nτ−=1）h(n)偶对称为第一类线性相位1()2Nθωω−=−相位函数：♦频率响应：()(1)hnhNn=−−−11201()()()sin2jNNjjzenNHeHzjehnnωωωω−−−==−⎡⎤⎛⎞==−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑12Nτ−=112201()sin2NNjjnNehnnπωω−−−+=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑0/2βπ=2）h(n)奇对称1()22Nπθωω−=−+相位函数：为第二类线性相位3、幅度函数的特点1）h(n)偶对称，N为奇数11cos(1)cos22NNNnnωω−−⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎞−−−=−⎨⎬⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎩⎭⎣⎦∵11cos22NNnω−−⎡⎤⎛⎞∴−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦对呈偶对称101()()cos2NnNHhnnωω−=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑幅度函数：1cos2Nnω−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦-32011()2()cos22NnNNHhhnnωω=−−⎡⎤⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑121112cos()22NmNNhhmmω−=−−⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑12Nnm−−=令120()()cos()NnHannωω−=∴=∑1(0)2Nah−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠其中：11,...,2Nn−=1()22Nanhn−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠120()()cos()NnHannωω−==∑1(0)2Nah−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠11,...,2Nn−=其中：1()22Nanhn−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠()0,,2Hωωππ∴=对呈偶对称cos()0,2nωωππ=∵对，呈偶对称120()()cos()NnHannωω−==∑2）h(n)偶对称，N为偶数12012()cos2NnNhnnω−=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑101()()cos2NnNHhnnωω−=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑幅度函数：2112cos22NmNhmmω=⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑2Nnm−=令/211()()cos2NnHbnnωω=⎡⎤⎛⎞∴=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑()22Nbnhn⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠1,...,2Nn=其中：1201()2()cos2NnNHhnnωω−=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑/211()()cos2NnHbnnωω=⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑()22Nbnhn⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠1,...,2Nn=其中：()Hωωπ=对呈奇对称()01Hzπ=∴=−则是零点1cos02nωπω⎡⎤⎛⎞=−=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦时♦1z=−为零点♦故不能设计成高通、带阻滤波器♦()0,2Hωωπ=对呈偶对称/211()()cos2NnHbnnωω=⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑3）h(n)奇对称，N为奇数11sin(1)sin22NNNnnωω−−⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎞−−−=−⎨⎬⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎩⎭⎣⎦∵11sin22NNnω−−⎡⎤⎛⎞∴−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦对呈奇对称101()()sin2NnNHhnnωω−=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑幅度函数：1sin2Nnω−⎡⎤⎛⎞=−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦-3201()2()sin2NnNHhnnωω=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑12112sin()2NmNhmmω−=−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑12Nnm−−=令121()()sin()NnHcnnωω−=∴=∑1()22Ncnhn−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠11,...,2Nn−=其中：1()02NhnNh−⎛⎞∴=⎜⎟⎝⎠奇对称且为奇数121()()sin()NnHcnnωω−==∑1()22Ncnhn−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠11,...,2Nn−=其中：()0,2Hωωππ=故对，呈奇对称()01Hzω=∴=±则是零点0,,2sin()0nωππω==时♦121()()sin()NnHcnnωω−==∑♦sin()0,2nωωππ=因对，呈奇对称4）h(n)奇对称，N为偶数101()()sin2NnNHhnnωω−=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑幅度函数：12012()sin2NnNhnnω−=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑1201()2()sin2NnNHhnnωω−=−⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑2112sin22NmNhmmω=⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑2Nnm−=令/211()()sin2NnHdnnωω=⎡⎤⎛⎞∴=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑()22Ndnhn⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠1,...,2Nn=其中：/211()()sin2NnHdnnωω=⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑()22Ndnhn⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠1,...,2Nn=其中：()01Hzω=∴=则是零点10,2sin02nωπω⎡⎤⎛⎞=−=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦时♦()0,2Hωωπ=对呈奇对称♦♦h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时()Hωωπ=对呈偶对称/211()()sin2NnHdnnωω=⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑4、零点位置()0iHz=∵**,1/iizz即也是零点(1)1()()NHzzHz−−−=±得：由1）若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对(1)1()()0NiiiHzzHz−−∴=±=11()(1)(1)iijjiiiHzrezrezθθ−−−=−−111111iijjiiezezrrθθ−−−⎛⎞⎛⎞⋅−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠1222112cosiiiirzrzrθ−−⎡⎤=−+⎣⎦2122cosiiirrzzθ−−⎡⎤⋅−+⎣⎦1522NNτ−===10ijiiiizrerθθπ=≠≠或1）11iiiijjjjiiiirereeerrθθθθ−−零点：12221()12cosiiiiiHzrzrzrθ−−⎡⎤=−+⎣⎦2122cosiiirrzzθ−−⎡⎤⋅−+⎣⎦()()11()11iijjiHzezezθθ−−−=−−1212cosirzzθ−−=−+1312NNτ−===10ijiiiizrerθθπ==≠或2），即零点在单位圆上iijjeeθθ−零点：()111()11iiiHzrzzr−−⎛⎞=±±⎜⎟⎝⎠1211iirzzr−−⎛⎞=±++⎜⎟⎝⎠1312NNτ−===iθπ+=负实轴上0iθ−=正实轴上10ijiiiizrerθθπ=≠=或3），即零点在实轴上1iirr零点：1()(1)iHzz−=±11222NNτ−===101iizzθπθ+==−−==10ijiiiizrerθθπ===或4）即零点既在实轴上，又在单位圆上1±零点：二、窗函数设计法1、设计方法10()()()NjjnjdnHehneHeωωω−−==→∑()1()2jjnddhnHeedπωωπωπ−=∫()()()dhnwnhn=w(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度以低通滤波器为例讨论：线性相位理想低通滤波器的频率响应：()0,jjccdcceHeωαωωωωπωωωωπ−⎧−≤≤=⎨−≤≤−≤≤⎩1sin[()]()2()ccjjnccdcnhneednωωαωωωωαωππωα−−−==−∫其理想单位抽样响应：中心点为α的偶对称无限长非因果序列取矩形窗：()()NwnRn=()1sin201120cccNnnNhnNnnωωπω⎧−⎡⎤⎛⎞−⎜⎟⎪⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎪≤≤−∴=−⎛⎞⎨−⎜⎟⎪⎝⎠⎪⎩其它()01()()()0ddhnnNhnhnwnn≤≤−⎧==⎨⎩其它则FIR滤波器的单位抽样响应：12Nα−=按第一类线性相位条件，得sin[()]()()ccdcnhnnωωαπωα−=−加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积()()()1()2jjjdHeHeWedπωθωθπθπ−−=∫1120sin2()()sin2NNjjjnRnNWewneeωωωωω−−−−===∑而矩形窗的频率响应：()()()dhnhnwn=sin2()sin2RNWωωω=其幅度函数：理想滤波器的频率响应：12()()NjjddHeHeωωω−−=11()221()()()2NNjjjdRHeHeWedπθωθωπθωθθπ−−−−−−=