(4)定积分的几何应用

Chapter6(4)定积分的几何应用教学要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长）..定积分的微元法一.立体体积三.平面曲线的弧长四.平面图形的面积二回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfy一、问题的提出与微元法面积表示为定积分的步骤如下:.,,,],[)1(iiiAAAinxnba则的面积为个小窄曲边梯形第个小窄曲边梯形梯形被分成相应的曲边的小区间个长度为分成把区间.)()2(iiiiiixxfAA的近似值计算.)(,)3(1iinixfAA的近似值得求和iinixfA)(lim)4(10取极限得精确值badxxf)(abxyo)(xfy提示若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积元素1.思考方法:(1)求总体量,先求部分量(以不变代变).(2)对部分量求和取极限.2.所求量U须满足的条件(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性,就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和..)()3(iiixfU的近似值可表示为部分量这样,就可考虑用定积分来表达这个量U.3.微元法的一般步骤：(1)根据问题的具体情况,选取一个变量(如x)为积分变量,并确定它的变化区间[a,b].(2)设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小区间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的微元,且记为dU..)(dxxfdU即.)(],[)3(badxxfUba上求定积分得在这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功;水压力;引力和平均值等.xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(围成图形的面积badxxfxfA)]()([12xxdxxdxx1.直角坐标情形二、平面图形的面积xoyab)(2xfy)(1xfy围成图形的面积为:badxxfxfA)()(12此时轴围成图形的面积与则为若,)(,0)(21xxfxfbadxxfA)(2ex1.计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.Solution.两曲线的交点)1,1()0,0(2xy2yx选择x为积分变量,]1,0[x面积元素dxxxdA)(2dxxxA)(21010333223xx.31]1,0[],[dxxxex2.计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.Solution.两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy]3,2[x],0,2[xdxxxxdA)6(231],3,0[xdxxxxdA)6(3222xyxxy63选x为积分变量,dxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253.)2)(1(.3轴围成图形的面积与求曲线xxxxyexSolution.曲线与x轴的交点的横坐标有:.2,1,0xxx20dxyA20)2)(1(dxxxx2110)2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx.21问题:积分变量只能选x吗?ex4.计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.Solution.两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[y,242dyyydA.18)24(422dyyyAxy224xy],4,2[],[dyyy如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积.)()(21ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.2.参数方程情形此时要注意曲边是有正方向的!从而确定出起点和终点.当你沿曲边朝着这方向前进时曲边梯形将在你的右边.ex5.求椭圆12222byax的面积.Solution.椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab设由曲线)(r及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(在],[上连续，且0)(．xodd面积元素ddA2)]([21曲边扇形的面积.21)]([2122drdA)(r3.极坐标情形.,且为积分变量选ex6.求双纽线2cos22ar所围平面图形的面积.Solution.由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdrA402214.2axy2cos22ar1A,40da2cos214402ex7.求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.Solution.利用对称性知d02212drA,0022)cos1(212dad)coscos21(202a2sin41sin2232a0.232a.40.8围成的图形的面积的一段弧与极轴到从相应于计算arexSolution.ox24由极坐标计算公式得:422221daA202221da.832axoab1.平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体，我们知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数],,[bax积分变量.)(badxxAV立体体积三、立体体积,)(dxxAdVex9.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.Solution.取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形RRxyox],,[RRx积分变量截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323Rex10.求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.Solution.取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形],,[RRx积分变量截面面积22)(xRhyhxA立体体积dxxRhVRR22.212hR注意:若立体垂直于y轴的截面面积为B(y),则.)(dcdyyBV旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([旋转体的体积为dxxfVba2)]([xdxxxyo)(xfyyex11.连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．rSolution.hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OPdxxhrdV2dxxhrVh20hxhr03223.32hraaoyxex12.求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.Solution.,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a(1)类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcV.),(),(,,)2(21轴旋转绕平面图形xxfyxfybxaxoxyab)(1xfy)(2xfy],[bax],[dxxx)()()(2122xfxfxAdxxfxfdV)]()([2122.)]()([2122badxxfxfV.),(),(,,,)3(21轴旋转绕平面图形xxfyxfycxbxaxoxyab)(2xfyc)(1xfy.)()(2122bcbadxxfdxxfV.00,)()4(旋转绕平面图形aybxayxfoxyab)(xfy],0[bx],[dxxx2)]([)(xfaxAdxxfadV2)]([.)]([2badxxfaV.1.132222旋转体的体积轴旋转所成的轴与绕求椭圆yxbyaxexSolution.(1)绕x轴旋转时,选x为积分变量,].,[aax221axbyaaxdxyV2aadxaxb)1(222;342ab(2)绕y轴旋转时,].,[bby221byaxbbydyxV2bbdybya)1(222.342ba.)()(.14222旋转体的体积轴旋转所成的绕求由圆xRrrRyxexSolution.oxyRrr如图所示,选x为积分变量,],,[rrx222)([xrRdVdxxrR])(222dxxrR224rrdxxrRV224.222Rrex15.求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.Solution.绕x轴旋转的旋转体体积dxxyVax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aa2a)(xy绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.dyyxVay)(2202dyyxa)(2201oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a补充如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay|)(|2利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|22020)]sin([)cos1()sin(2ttadtatta2023)cos1)(sin(2dtttta.633aex16.求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.Solution.取积分变