5-4--定积分的几何应用

第5章定积分及其应用5.4定积分的应用1、问题的提出2、平面图形的面积一、定积分的几何应用3、旋转体的体积※4、平行截面面积已知的立体的体积回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(1、定积分的元素法曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfy面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[ba分成n个长度为ix的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄曲边梯形的面积为iA，则niiAA1.（2）计算iA的近似值iiixfA)(iix（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfA（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(abxyo)(xfy提示若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积元素当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤：1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2)设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(；3)以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得badxxfU)(，即为所求量U的积分表达式.这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。xyo)(xfyab2、平面图形的面积xxx第一步：取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量A的近似值，记作dA；如何用元素法分析？＝？dAxyo)(xfyab2、平面图形的面积xxx如何用元素法分析？xxfA第一步：取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量A的近似值，记作dA；xyo)(xfyab2、平面图形的面积xxxdxxfdA＝如何用元素法分析？第一步：取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量A的近似值，记作dA；xyo)(xfyab第二步：写出面积表达式。badxxfA)(2、平面图形的面积xxx如何用元素法分析？dxxfdA＝xyo)(1xfy)(2xfyab2、平面图形的面积xxx第一步：取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量A的近似值，记作dA；如何用元素法分析？＝？dAxyo)(1xfy)(2xfyab2、平面图形的面积xxx第一步：取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量A的近似值，记作dA；如何用元素法分析？dxxfxfdA12＝xyo)(1xfy)(2xfyabbadxxfxfA)]()([122、平面图形的面积xxx第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？dxxfxfdA12＝例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例2计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x]3,2[x],0,2[)1(xdxxxxdA)6(231],3,0[)2(xdxxxxdA)6(3222xyxxy63于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？xxyo)(2yxcd)(1yxxyo)(yxcd观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？dcdyyA)(xyo)(2yxcd)(1yxxyo)(yxcddcdyyyA)]()([12yyyyyy观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？例3计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydyyydA242.1842dAAxy224xy例4求椭圆12222byax的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱3、旋转体的体积(volumeofbody)（1）圆锥圆台3、旋转体的体积(volumeofbody)（3）（2）一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfyy例1连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OP以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为dxxhrdV2圆锥体的体积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxoaaoyx例2求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyyVdc2例3求由20cos,0,0xxyyx所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.解dyyV210arccos012xyyxarccosytarccos设tdtcos202dttttt2002cos2cos2tdtsin220dtttt200sin2sin22202cos2t22xoabxdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积※4、平行截面面积已知的立体的体积例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RRxyo解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323R1、由边际函数求原函数2、由变化率求总量二、定积分的经济应用3、收益流的现值和将来值三、小结思考题1、由边际函数求原函数xxc257)(xdxxccxc0)()0()(dxxx)257(10000例1已知边际成本为,固定成本为1000,求总成本函数．xxx0]507[1000xx5071000解2、由变化率求总量42)(dttxQ.272]6100[422t解dtt422100＋＝例2某工厂生产某商品在时刻的总产量的变化率为（单位∕小时）.求由到这两小时的总产量.tttx12100'2t4t※3、收益流的现值和将来值收益若是连续地获得，则收益被看作是一种随时间连续变化的收益流。收益流的现值是这样一笔款项，若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。将收益流存入银行并加上利息之后的存款值。收益流对时间的变化率。•收益流•收益流量•收益流将来值•收益流现值收益现值总现值dtetpedttprtrt)(])([.)(0Trtdtetp以连续复利率计息将来值和现值年后这一时间段的到考虑从现在开始年元流量为若有一笔收益流的收益.0,/Tttp分析内从而在获得年后的将来这一金额是在开始从内所获得的金额近似为在内任取一小区间在区间dttttdttptdttpdtttdtttT,,,0,,,,,0收益流的将来值故，总的将来值，dtetpedttptTrtTr)()()(])([.)(0)(dtetpTtTr内从而在年后获得利息在对于将来值dttttTdttp,,,例3假设以年连续复利率0.1计息,求收益流量为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.解现值将来值dtet2001.0100)1(10002e；66.864dtet200)20(1.0100)1(100022ee.06.6389三、小结•定积分的元素法badxxfU)(•平面图形的面积•旋转体的体积•平行截面面积已知的立体的体积badxxAV)(dxxfVba2)]([dyy2)]([dcVbadxxfxfA)]()([12经济应用•由边际函数求原函数•由变化率求总量•收益流的现值和将来值思考题1设曲线)(xfy过原点及点)3,2(，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴和曲线)(xfy围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线)(xfy围成的面积的两倍，求曲线方程.思考题1解答1S2Sxyo)(xfy),(yx122SSxdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)(])([2)(00xxdxxfxydxxf,2)(30xydxxfx两边同时对求导xyxyxf22)(3yyx2积分得,2cxy因为曲线)(xfy过点)3,2(29c,292xy因为)(xf为单调函数所以所求曲线为.223xy思考题2求曲线4xy，1y，0x所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.思考题2解答xyo14yxy交点),1,4(立体体积dyxVy12dyy1216116y.161y思考题3设有一项计划现在(即0t)需一项投入a(元)，可获得一项在T,0中的常数收益流量b(元)，若连续复利的利率为r，求收益的资本价值．arebaet