定积分的几何应用(新)

§5.5定积分在几何中的应用一、定积分的微元法二、平面图形的面积三、旋转体的体积用定积分表示一个量，如几何量、物理量或其他的量，一般分四步考虑，我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程.第一步分割：将区间[a,b]任意分为n个子区间[xi-1,xi](i=1,2,···,n)，其中x0=a，xn=b.一、定积分的微元法第三步求和：曲边梯形面积A.)(1iniixfA第四步取极限：n，=max{xi}0，.d)()(lim10xxfxfAbainii第二步取近似：在子区间[xi-1,xi]上，任取一点i，作小曲边梯形面积Ai的近似值，Aif(i)xi.(i=1,2,…n)如果把第二步中的i用x替代，中的被积分式f(x)dx具有类同的形式，第二步取近似时其形式f(i)xi，与第四步积分xxfbad)(xi用dx替代，那么它就是第四步积分中的被积分式，第一步选取积分变量，例如选取x，并确定其范围，例如x[a,b]，在其上任取一个子区间记作[x,x+dx].第二步取所求量I在子区间[x,x+dx]上的部分量I的近似值If(x)dx，第三步取定积分.d)(xxfIba基于此，我们把上述四步简化为三步：几点说明：(1)取近似值时，得到的是形如f(x)dx的近似值，并且要求I-f(x)dx是dx的高阶无穷小量，关于后一个要求在实际问题中常常能满足.(2)满足(1)的要求后，f(x)dx是所求量I的微分，所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即dI=f(x)dx，dI称为量I的微元.上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.xaOxx+dxy=f(x)Ady)]()([xgxf-),()(xgyxfy与计算由区间[a,b]上的两条连续曲线以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间[a,b]，在区间[a,b]的任意一个小区间[x,x+dx]上，相应的面积可以用x点处的函数值二、平面图形的面积ayxbOxy=f(x)x+dxy=g(x)Ad为高所以，所求平面图形的面积A为.d|)()(|xxgxfAba-以dx为底的矩形面积近似代替（如图），从而得到面积元素dxxgxfdA)]()([-类似地可得，由区间[c,d]上的两条连续曲线与，（当）以及两直线与所围成的平面图)(yx()xy[,],()()ycdyycydy形的面积为-dcdyyyA)]()([xoycdyy+dy()xy()xy例1计算由曲线及直线所围成的平面图形的面积。2xyxy2xyxydxxxA)(102-61)3121(1032-xx解：作出所围成的平面图形取x为积分变量，其变化区间为[0，1]。于是，平面图形的面积例2求出抛物线y2=2x与直线y=x–4所围成的平面图形的面积.解作草图，如图，求抛物线与直线的交点，即解方程组-,4,22xyxy得交点A(2,-2)和B(8,4).xAB-24yy=x-4y2=2x(8,4)(2,-2),d2)4(d)(d212yyyyxxA--于是--422d2)4(yyyA如果选择x为积分变量，那么它的表达式就比上式复杂.如果选择y作积分变量，y[-2,4]，.18xyAB(8,4)(2,-2)-24yy=x-4y2=2xy+dy任取一个子区间[y,y+dy][-2,4]，则在[y,y+dy]上的面积微元是例3求y=sinx，y=cosx，解由上述公式知2,0xx所围成的平面图形的面积..d|cossin|20xxxA-xxxd)cos(sin40--xxxd)cos(sin24-2440]sincos[]sin[cos--xxxx).12(2-也可以先作出该平面图形的草图，xxxAd)sin(cos40-.d)cos(sin24xxx-如图，就不必用公式了.则直接可得).12(2-y=cosxxOy=sinx4π2π1y例4求椭圆x=acost，y=bsint的面积，其中a0，b0.解因为图形关于x轴、y轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，.d40axyA把x=acost，y=bsint代入上述积分式中，上、下限也要相应地变换(满足积分变量t).由定积分的换元公式得axyA0d4ttatbd)sin(sin402π-ttabdsin402.ab即xy12222byaxO一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠都是旋转体。计算由区间[a、b]上的连续曲线、两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。)(xfy三、旋转体的体积由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间[a,b]。在区间[a,b]的任意一个小区间[x,x+dx]上，相应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底面半径，以dx为高的扁圆柱体的体积近似代替，从而得到体积元素dxxfdV2)]([dxxfVba2)]([所以，所求旋转体的体积类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线,两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为)(yxdyyVdc2)]([例5求由椭圆12222byax解利用图形的对称性,只需考虑第一象限内(一)绕x轴：选取积分变量为x[0,a]，所围图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.任取一个子区间[x,x+dx][0,a]，的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，所求体积为该体积的2倍。在子区间[x,x+dx]上旋转体的微元为：于是dV1=y2dx，12VVxyad202xaxbad)1(22202-.34)3(2203222abxxaaba-yxOxx+dx(二)绕y轴：选积分变量y[0,b]，任取子区间[y,y+dy][0,b].在子区间[y,y+dy]上体积的微元为则yxVVbd22021.34d)(22222022bayybbab-yxOy+dyyxxdyxdV21例6求y=x2与y2=x所围图形绕x轴旋转所成的旋转体体积.解选积分变量x[0,1](两曲线的交点为(0,0)和(1,1))，任取子区间[x,x+dx][0,1]，其上的体积的微元为,d)(d2221xyyV-xyyVd)(102221-.103d)(104-xxxxx+dx(1,1)y2=x2xy21yxO体积微元的求法1.曲线与直线所成的图形的面积为（）xxeyey-,1x2)(AeB-2)(eC22)(21)(-eeD2.将第一象限内由x轴和曲线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积等于()54)(A72)(B108)(C144)(Dxy626x思考题DC习题5-51（1）（3）45作业题