第6章定积分的应用2几何应用

三、已知平行截面面积的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章一、1.直角坐标情形(1)曲线与直线及x轴所围xbaoy()yfxxdxx曲边梯形面积A()fxAxy()yfx()ygx[()fxAdxxx()ygxxa夹在这两条直线的面积近似等于长方形的面积dx()yfx平面图形的面积dx()]gxbabaxb所围图形的面积.例1y解:23yx1xA3x2x2(3x3(x31|3232x2230xx(3)x132)xdx313x2)x23x(1)x0123x23x计算由例2.所围图形计算由y解:ye1xxxe(e(xe10|1)xedx)xeA0101e的面积.,e例3.所围图形的面积.解:由得A计算两条抛物线xy02xyyx1xyx10(x2)xdx13例4.部分的面积.解:由得计算下列阴影xy0yxyx1xyxA10(x)xdx16(2)曲线与直线及y轴所围曲边梯形面积A()dfyyA()xfy()xgy()xfy(()0)fyyx()xfyxy[()()]gfyydc()xgyyc夹在这两条直线的面积近似等于长方形的面积dydcA()xfyyd例5.所围图形的面积.解:由得计算抛物线4yx与直线y4yxy04xyxA(4y21(2y24|1821)2ydy4y31)6y4x4y212y42(3)求曲线与直线及x轴所围xdxx曲边梯形面积AdyxA()xt(,)btt(,)att)d(tt夹在这两条直线的面积近似等于长方形的面积baabxoyx例6.求椭圆解:利用对称性dyx所围图形的面积.04aA利用椭圆的参数方程4ab4ab122ab当a=b时得圆面积公式xxd0,x2t,xa0tsinybt202sindttcosxat例7.求由摆线的一拱dyx解:2aA与x轴20(1cos)datt0,t0x2,t2xaxdx220a20a所围平面图形的面积.202(1cos)tdt23a2.极坐标情形求由曲线及射线围成的曲边扇形的面积.()xd过极点画两条射线，夹在这两条射线的面积21[()]d2所求曲边扇形的面积为A近似等于扇形面积对应从0例5.计算阿基米德螺线解:1220A22a31[]320|3243a变到2所围图形面积.d21()d22()ad2a例8.计算心形线所围图形的面积解:d22(1cos)a20a(利用对称性)232a12d212coscos1(1cos2)222例9.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,212Aa22212aa3(2所求面积212a22(1cos)a12d2cos1cos22)d23(2)4a1D2x02y||x||yyox4434126页15(2)计算其中D是所围的D22xy区域.dd,xyxy222()axy2()2()解：原式=(D2x2xy2y)ddxy14D2(x2)yddxy422(cos22sin)02cos2acos200414D3d3d442cos2a002404ad22a2cos21cos420a2a127页18(2)计算22xy22a2()22(),xy22xy2a所围图形的面积yox22xy2aa0a解面积=14Dddxy1D14D42cos222a2acos2acos2126dd4622cosa0a2acos2a2062c2(2osa2)ad22a(sin2)603()32a二、平面曲线的弧长定义:在弧AB上0MnMyox当最长线段→0时,若n条线段长度之和曲线弧AB的弧长.即并称此曲线弧0lims则称此极限为AB1iMiM1M2M1nM任意取一些点,得到n条线段,趋向于一个确定的极限,1ni1iiMM为可求长的.sdyxabo(1)曲线()yfx弧微分:xdxx所求弧长sds(2)曲线弧微分:所求弧长(3)曲线弧微分:ds所求弧长2(d)x2(d)yba21dyx由直角坐标方程给出:由参数方程给出:x2()tdtba2()ts2()tdt2()t由极坐标方程给出:s2()2()dds2(d)x2(d)ydx()t21ydx21()fx2()2()d例10.一拱的弧长.解:2a2adta2sin2tas2a208a计算摆线ds2()tdt2()t2(1cos)t2sint2(1cos)tdtdt202sin2tadt(2cos)2t281页例13星形线204s3cossinatt26sinat206a星形线的全长283页5(1)星形线围成的面积A04a02422012adyx3adsdtcossintt||dtdt212(a238a三、设垂直于x轴夹在两个平面之间的体积近似等于()dAxx所求立体体积Vx平行截面面积为已知的立体体积abx)(xA的截面面积为A(x),ba()dAxx例11.并与底面交成角,计算该平面截圆柱体oRxyx一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,所得立体的体积.222Ryx解:底面圆的方程为垂直于x轴的截面面积()Ax()RxR221()tand2RRVRxx231()tan3Rxx0R12ytany221()tan2Rx2x),(yx垂直于y轴的截面面积()Ay),(yxxtany222tanyRyV02tanR22dyRyy2tan32221[()]3Ry0R方法二：例12.计算底面是半径为R的圆、解:垂直底面上一条yxoR固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积xy等边三角形的边长2y222Rx截面面积12222(2)Rx32223()Rx立体体积V223()Rxdx02R23123()3Rxx0R3433R特别绕x轴旋转一周围成的立体体积连续曲线段()yfx2[()]fxdxVdxx连续曲线段绕y轴旋转一周围成的dyVcdy立体体积xoy()xyyxx()cdyba()fx(a)b()ydc2[()]yayxb例13.所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解法1利用直角坐标方程则2222ba0a243abo02aV2yx0a231[]3axx202daVyx222ab23243ab1方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,34.3a就得半径为a的球体的体积dx22()daxx22ba22sinbt(sin)datt计算由椭圆复习绕x轴旋转一周围成的立体体积连续曲线()yfx2[()]fxdxV()yfx()abx(()0)fx278页例10求该平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积解xxxd()fx柱面面积夹在两柱面之间的体积近似等于长度为()fx线段绕y轴旋转所成的绕y轴旋转所成的旋转体的体积baV2ba()xfxdxba283页10(3)绕x轴旋转一周围成的立体体积计算曲线sinyx2sinxdx0Vsinyx(0)xxxxdsinx绕y轴旋转所成的旋转体的体积0V01cos22xdx222sinxxdx2022(cosxxsin)x内容小结一.平面图形的面积1.直角坐标方程()yfxx()fxdxbaAcdxoy()xyy()ydydcAxy()yfx()ygx[()()]gfxxbaAx()yxf()ygxxbxadx2.参数方程3.极坐标方程()xt(,)btt(,)attA)d(tt及围成的曲边扇形的面积.()xd21[()]d2A()二.平面曲线的弧长2.参数方程方程3.极坐标方程22d(d)(d)sxy弧微分:1.直角坐标方程21dyxds弧长s21()dbafxx弧长s21()ddcyyf弧长22()()dsttt弧微分22()()dds弧长s三.立体体积面积为的立体体积平行截面绕x轴旋转一周围成的立体体积()yfx2[()]fxdx旋转体体积绕y轴旋转一周围成的立体体积2xdx绕y轴旋转一周围成的2[()]ydycdy立体体积xoy()xyx绕x轴旋转一周围成的立体体积2ydy()fx()y所围图形的面积A解:由得3yx与直线230xyA(23y2(y13|323思考与练习1.计算抛物线2)dyy313y31)3y23y2.计算由解:yeAdy轴，所围图形的面积.yeba设有曲线y过原点求由此曲线、一周所得到的旋转体3.切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转的体积.yox解1yx设切点为00(,),xy则切点斜率0121x02,x切线方程1,2yx1绕x轴旋转的体积xVdx202(1)xdx21232601x0x1,x作其切线,221()2x作业283页习题6—2作业本写上班级学号姓名1.单数,2,3,7,10.(1)11.12.16.(1),(3)4.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴、解(1)02axV利用对称性02(1cos)datt32a316a332a332a5634122235a()2tu令y轴旋转而成的立体体积.2y夹在两个截面之间的体积近似等于绕x轴旋转而成的体积620sinduu30(1cos)dttdxdx60sind2tt22(1cos)at(2)绕y轴旋转而成的立体体积22(sin)attsindatt2sindatt02320(sin)sindatttt)(tu令220(sin)sindtttt2(sin)uu(sin)udu222(sin22sin2sin)uuuuuusinduu22(sinsin)duuuu04(sinduuu20sind)uud(cos)u1cos22u41()222(sin)att方法一方法二绕y轴旋转而成的立体体积,夹在两柱面之间的体积xxxdy柱面面积近似等于2(sin)att(1cos)at2302(sin)att44sind2tt2tu令38a2vu令4(2sin2)sin2duuuu偶函数316a奇函数4(2sin2)cosdvvvv316a2024cosdvv2332a314220225.设在x≥0时为连续的绕直线x＝t证明:证:x)(xfxoytxxd则0()2()()dtxxxVttf