函数的单调性与最值一轮复习课件

§2.2函数的单调性与最值数学RA（文）第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做函数y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得.(3)对于任意x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345C基础知识·自主学习C①②(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑43，1基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断【例1】讨论函数f(x)＝axx2－1(a0)在x∈(－1,1)上的单调性．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断可根据定义，先设－1x1x21，然后作差、变形、定号、判断．思维启迪解析思维升华【例1】讨论函数f(x)＝axx2－1(a0)在x∈(－1,1)上的单调性．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断解设－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2x21－1x22－1＝ax2－x1x1x2＋1x21－1x22－1.∵－1x1x21，思维启迪解析思维升华【例1】讨论函数f(x)＝axx2－1(a0)在x∈(－1,1)上的单调性．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断又∵a0，∴f(x1)－f(x2)0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．思维启迪解析思维升华【例1】讨论函数f(x)＝axx2－1(a0)在x∈(－1,1)上的单调性．∴x2－x10，x1x2＋10，(x21－1)(x22－1)0.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：思维启迪解析思维升华【例1】讨论函数f(x)＝axx2－1(a0)在x∈(－1,1)上的单调性．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析跟踪训练1(1)已知a0，函数f(x)＝x＋ax(x0)，证明：函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数；(1)证明设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝x1－x2x1x2(x1x2－a)．当0x1x2≤a时，0x1x2a，又x1－x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；当a≤x1x2时，x1x2a，又x1－x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．(2)解令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用函数的单调性求参数思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a－14B．a≥－14C．－14≤a0D．－14≤a≤0(2)已知f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范围是________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用函数的单调性求参数利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a－14B．a≥－14C．－14≤a0D．－14≤a≤0(2)已知f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范围是________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用函数的单调性求参数(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，思维启迪解析答案思维升华因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a0，且－1a≥4，解得0a≥－14.综合上述得－14≤a≤0.【例2】(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a－14B．a≥－14C．－14≤a0D．－14≤a≤0(2)已知f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范围是________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用函数的单调性求参数(2)由已知条件得f(x)为增函数，∴2－a0a12－a×1＋1≤a，解得32≤a2，思维启迪解析答案思维升华∴a的取值范围是[32，2)．【例2】(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a－14B．a≥－14C．－14≤a0D．－14≤a≤0(2)已知f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范围是________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用函数的单调性求参数思维启迪解析答案思维升华(2)由已知条件得f(x)为增函数，∴2－a0a12－a×1＋1≤a，解得32≤a2，∴a的取值范围是[32，2)．【例2】(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a－14B．a≥－14C．－14≤a0D．－14≤a≤0(2)已知f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范围是________．D[32，2)基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用函数的单调性求参数已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；思维启迪解析答案思维升华②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【例2】(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a－14B．a≥－14C．－14≤a0D．－14≤a≤0(2)已知f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范围是________．D[32，2)基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．a＝－3B．a3C．a≤－3D．a≥－3题型分类·深度剖析解析(1)y＝x－5x－a－2＝1＋a－3x－a＋2，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有a－30a＋2≤－1，解得a≤－3.C基础知识题型分类思想方法练出高分(2)已知f(x)＝axx1，4－a2x＋2x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[4,8)C．(4,8)D．(1,8)题型分类·深度剖析解析(2)因为f(x)是R上的单调递增函数，B所以可得a1，4－a20，a≥4－a2＋2.解得4≤a8，故选B.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三函数的单调性和最值【例3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三函数的单调性和最值抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值．思维启迪解析思维升华【例3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三函数的单调性和最值(1)解令x1＝x20，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.思维启迪解析思维升华【例3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三函数的单调性和最值(2)证明任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则x1x21，由于当x1时，f(x)0，所以fx1x20，即f(x1)－f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．思维启迪解析思维升华【例3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三函数的单调性和最值(3)解∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由fx1x2＝