1990年-2012年考研数学一历年真题

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2xt(1)过点(1,21)M且与直线34yt垂直的平面方程是_____________.1zt(2)设a为非零常数,则lim()xxxaxa=_____________.(3)设函数()fx1011xx,则[()]ffx=_____________.(4)积分2220eyxdxdy的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx是连续函数,且e()(),xxFxftdt则()Fx等于(A)e(e)()xxffx(B)e(e)()xxffx(C)e(e)()xxffx(D)e(e)()xxffx(2)已知函数()fx具有任意阶导数,且2()[()],fxfx则当n为大于2的正整数时,()fx的n阶导数()()nfx是(A)1![()]nnfx(B)1[()]nnfx(C)2[()]nfx(D)2![()]nnfx(3)设a为常数,则级数21sin()1[]nnann(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知()fx在0x的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cosxfxfx则在点0x处()fx(A)不可导(B)可导,且(0)0f(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是(A)1211212()2kkββααα(B)1211212()2kkββααα(C)1211212()2kkββαββ(D)1211212()2kkββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)xdxx(2)设(2,sin),zfxyyx其中(,)fuv具有连续的二阶偏导数,求2.zxy(3)求微分方程244exyyy的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)nnnx的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()fx在闭区间[,]ab上连续,在开区间(,)ab内可导,且()().fafb证明在(,)ab内至少存在一点,使得()0.f七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002BC且矩阵A满足关系式1()AECBCE其中E为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448fxxxxxxxxx成标准型.九、（本题满分8分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数1()e,2xfxx则X的概率分布函数()Fx=____________.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率()PAB=____________.(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松()Poisson分布,即22e{},0,1,2,,!kPXkkk则随机变量32ZX的数学期望()EZ=____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)XY在区域:01,Dxyx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差().DZ1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cosxtyt,则22dydx=_____________.(2)由方程2222xyzxyz所确定的函数(,)zzxy在点(1,0,1)处的全微分dz=_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211xyzxyzll则过1l且平行于2l的平面方程是_____________.(4)已知当0x时123,(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e1exxy(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()fx满足关系式20()()ln2,2tfxfdt则()fx等于(A)eln2x(B)2eln2x(C)eln2x(D)2eln2x(3)已知级数12111(1)2,5,nnnnnaa则级数1nna等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域1,D是D在第一象限的部分,则(cossin)Dxyxydxdy等于(A)12cossinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cossin)Dxyxydxdy(D)0(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20lim(cos).xx(2)设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数.(3)22(),xyzdv其中是由曲线220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O和(,0)A的曲线族sin(0)yaxa中,求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积分3(1)(2)Lydxxydy的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)fxxx展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211nn的和.六、（本题满分7分）设函数()fx在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),fxdxf证明在(0,1)内存在一点,c使()0.fc七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)aaαααα及(1,1,3,5).bβ(1)a、b为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a、b为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)Pxy处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布,且{24}0.3,PX则{0}PX=____________.(2)随机地向半圆202(yaxxa为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)XY的密度函数为(,)fxy(2)2e0,00xyxy其它求随机变量2ZXY的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()yyx由方程ecos()0xyxy确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()uxyz在点(1,2,2)M处的梯度gradMu=_____________.(3)设()fx211x00xx,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于_____________.(4)微分方程tancosyyxx的通解为y=_____________.(5)设111212121212,nnnnnnabababababababababA其中0,0,(1,2,,).iiabin则矩阵A的秩()rA=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x时,函数1211e1xxx的极限(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为(2)级数1(1)(1cos)(nnan常数0)a(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线23,,xtytzt的所有切线中,与平面24xyz平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,fxxxx则使()(0)nf存在的最高阶数n为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121ξξ都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为(A)212(B)201011(C)102011(D)011422011三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20esin1lim.11xxxx(2)设22(esin,),xzfyxy其中f具有二阶连续偏导数,求2.zxy(3)设()fx21exx00xx,求31(2).fxdx四、(本题满分6分)求微分方程323exyyy的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy其中为上半球面222zaxy的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,fxf证明对任何120,0,xx有1212()()().fxxfxfx七、（本题满分8分）在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc上第一卦限的点(,,),M问当、、取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论