转子动力学基础

2020/5/71第一章转子动力学基础本章主要内容：1.涡动分析、临界转速2.重力影响3.弹性支承影响4.非轴对称转子影响、稳定性问题5.初始弯曲影响6.等加速过临界的特点2020/5/72第一节转子的涡动旋转的转子是具有质量和弹性的振动系统，这与其他振动系统相同。区别：转子是旋转的涡动：既有自转，又有公转，是一种复合运动。不平衡力引起的同步正进动分析2020/5/73第二节Jeffcott转子涡动分析Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。一、Jeffcott转子运动微分方程Jeffcott转子示意图薄盘：h/D0.1；偏心矩：e定坐标系：oxyz；基点：设自转ω为常数，确定的运动：x(t)、y(t)或r(t)、θ(t)假设：扭转刚度无限大(不计扭振)忽略轴向位移、刚性支承轴的弯曲刚度为EJE：弹性模量J：截面惯性矩oo2020/5/74轴的弹性恢复力在坐标轴上投影为：k—轴的刚度系数对称简支梁中点刚度为：粘性外阻尼力在坐标轴上投影为：c—粘性阻尼系数由牛顿定律可得：由几何关系可知：2020/5/75两边对时间求两次导数得：代入牛顿方程得点的运动微分方程根据动量矩定理，可得圆盘绕重心c转动的微分方程：对于稳态涡动，o(cossin)ITkexy02020/5/76代入牛顿方程得点的运动微分方程化为标准形式为：式中：弹性轴无阻尼横向振动固有频率相对阻尼系数运动微分方程与线性阻尼系统强迫振动相同，可设解为o2020/5/77代入运动微分方程解得:点作圆周运动，参照极坐标几何关系:故运动半径为轴的动挠度r，ψ为动挠度r与偏心矩e间的相位差，且有:o222arctanpp22222()(2)(t)errpptrψ2020/5/7822222222222()(2)(1)(2)eeprrppppr22222arctanarctan1()pppp/p/p2020/5/790pre==90pre?180pre?低转速区共振区高转速区圆盘重边飞出圆盘轻边飞出；自动定心或质心转向2020/5/710临界转速定义(ISO)：系统(位移)共振时主响应的特征转速。主响应：轴颈运动或转子挠曲对于Jeffcott转子，临界转速对应常以ωcr或ωc表示，若以转/分或转/秒为单位，则有或将转子挠度表达式代入临界转速条件得解得可见，阻尼总使临界转速大于横向振动固有频率，与机械振动中的阻尼使固有频率降低作用相反。当转子系统阻尼很小时，可近似认为：此时有crp2020/5/711ω＝p时，φ≡π/2，与阻尼系数ξ大小无关，利用这一特点可测取转子系统的p，在小阻尼情况下可近似为临界转速。当ξ＝0时，ω«p时，φ＝0，三点在一条直线上ω»p时，φ＝π，三点在一条直线上ω＝p时，φ＝π/2，r→∞,不同转速下圆盘偏心位置见图1－14coo、、coo、、2020/5/712ω=Ω，同步正涡动，或正协调进动；ω=-Ω，同步反涡动，或反协调进动；ω≠Ω，同方向，正涡动，或非协调正进动；ω≠Ω，反方向，反涡动，或非协调反进动。当转子圆盘不在中间时，即使是无阻尼系统，其临界转速ω≠p，主要是陀螺力矩影响。同步正进动轴的受力2020/5/713例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材料密度，不计阻尼。求：1）临界转速ωcr2）e=0.1cm，ω＝0.6ωcr；ω＝0.8ωcr时的动挠度r及支反力幅值F。解：弹性轴质量：圆盘质量：弹性轴中点刚度：不计轴质量时临界转速：26/1058.20cmNE33/108.7cmkg－kgms7856.0108.7574/)5.1(32－kgmD137.3108.724/)16(32－cmNlEJk/553.1325)6457/()5.11058.2048(/483463min/96.1962137.310553.12325302603rmkDcr2020/5/714计入弹性轴等效质量，按照振动理论，梁在中点的等效质量为原质量的17/35，则临界转速为：min/3.185335/177856.0137.310553.123253035/172603rmmksDcr＋cmercr05625.01)6.0/1(1.01)/(22940.1)137.37856.0(562.74)(gmmFDsω＝0.6ωcr时挠度为：支反力幅为：F=kr=74.562N轴承力与重力之比为：2020/5/715ω＝0.8ωcr时挠度为：支反力幅为：F=kr=235.68N轴承力与重力之比为：131.6)137.37856.0(68.235)(gmmFDscmercr1778.01)8.0/1(1.01)/(222020/5/716第二节刚体绕定点的转动力学模型：连续质量模型——弹性体集中质量模型——盘轴系统本章以盘轴系统为分析模型刚体在空间有六个自由度：沿三个垂直轴方向的平移和绕这三个轴的转动。理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转动。平动运动规律与基点选择有关；转动运动规律与基点选择无关。§1.2.1描述定点刚体位置的欧拉角刚体球铰定点约束：约束三个平动自由度；只有三个转动自由度。2020/5/717定坐标系oxyz与动坐标系的关系见表1－1和图1－6关系式为：zyxo(,,)(,,)xyzxyz2020/5/718各方向余弦存在关系：因此，九个方向余弦中只有三个是独立的（自由度数）。方向余弦求解复杂，采用夹角——欧拉角表示，多种定义。1、第一种定义（图1－7）：1)动坐标与静坐标重合，先绕oz轴转动ψ角——进动角；到达oNN1z，oN称为节线，右手法则2)绕oN轴转θ角——方位或挠曲角；到达3)绕转φ角——自转角；到达引入坐标轴矢量、zozNoNzyxokji、、kji、、2020/5/719再引入oN、oN1及的单位矢量，则有：由于：得到：zonnn、、12020/5/7202、第二种定义（图1－8）1)动坐标与静坐标重合，先绕oy轴转动α角,到达ox1yz1；右手法则2)绕ox1轴转β角,到达3)绕转φ角——自转角，到达α、β结合体现进动与方位角。令ox1、oy1、oz1单位矢量为则有zyox11zozyxo321nnn、、sin32＝nn2020/5/721由此可导出欧拉角的三角函数表示的方向余弦：2020/5/722欧拉角表示的刚体绕定点转动的运动为或§1.2.2刚体绕定点运动的角速度及速度分布刚体的角速度为或所在的位置称为刚体绕定点转动的瞬时转动轴，瞬时转动轴时刻不同，但总通过定点。第一种定义法得到矢量向定坐标系投影得2020/5/723利用方向余弦关系得向动坐标系投影得类似，由第二种定义可得向定坐标系和动坐标系的投影刚体上任一点瞬时速度矢量为2020/5/724将速度向定坐标系和动坐标系投影得刚体上各点角加速度和加速度为§1.2.3刚体作定点转动时的动量矩定理动量矩定理：刚体对定点o的动量矩对时间t的导数，等于外力系对该点的主矩则有对有集中质量的刚体，动量矩为刚体在绝对运动中对质心的动量矩，等于刚体随质心平移动坐标系中运动的相对于质心的动量矩。xvoHoLcHcrH2020/5/725因为由速度合成定理：则刚体相对质心的绝对运动动量矩为由于刚体对质心的质量矩等于零，即因此若将固定点取在质心o上，则有在相对随质心平移的动坐标系中，刚体对质心动量矩对时间的导数等于外力系对质心的主矩——刚体相对质心的动量矩定理。因此，对质心动量矩的计算只需考虑相对转动。刚体作定点转动时，有刚体动量矩为icivvv)()()()(iiiciiiciiiiicvmrvrmvvmrvmrHcriiicHvmrH＝iirv')()('''2'2'2'iziyixiiiiiiiiiiiiiiiczyxrmzyxmrrmrrmrmrH＝）（－）（）＝（2020/5/726向动坐标系投影得式中：为刚体对轴的惯性矩为刚体对、轴的惯性积为刚体对、轴的惯性积对一般具有圆截面的均质轴对称转子有对均质薄圆盘有式中：m——圆盘质量R——圆盘半径类似可得于是xoiiiyxyxmIxoyoxozo2020/5/727如果为刚体对o点的主惯性轴，则各惯性积为零，即于是有一般情况下的矢量关系如图1－9。若刚体对动坐标系的惯性矩为常数则有式中：——欧拉动力学方程zyxo0＝＝xzzyyxIIIkIjIiIHzzyyxxoxzxzzzzxzzyyyyzyyxxxxIIILIIILIIIL)()()(2020/5/728§1.2.4刚体运动的动能能量定理、拉个朗日方程——运动微分方程设刚体质量为m，基点运动方程为x(t)、y(t)、z(t)，以基点为原点的动坐标系是刚体的惯性主轴，惯性矩分别是，则刚体的动能为通常转子沿oz轴方向的运动为二阶小量，可忽略不计，即有z(t)=0故转子的动能计算公式为zyxozyxIII、、2020/5/729第三节单盘偏置转子的涡动、回转效应转动惯量：反应刚体质量分布的力学参数。中心极转动惯量：绕通过执行的对称轴的转动惯量。中心直径转动惯量：绕通过质心的任一直径的转动惯量均值等厚度圆盘，其转动惯量为：圆盘的回转效应：转动的刚体有力图保持转轴方向不变的特性。转动物体的惯性的体现。pJdJ212pJmr2211412dJmrml2020/5/730三个圆盘的动量矩：pHJ的方向沿轴线的切线方向。若转子以角速度HdHdt绕z轴转动，则动量矩的变化率：2020/5/731动量矩定理：圆盘在轴上的反力矩：'pdLHdt圆盘的回转力矩：'ppLLsinppLHJ2020/5/732回转效应：由于高速旋转圆盘的偏摆运动而使临界转速变化的现象（见图1－15）。§1.3.1单盘偏置转子运动微分方程假设：无阻尼、无偏心不计轴质量如图1－15，圆盘的轴线在空间画出的轨迹是个锥面。为分析方便，建立如下坐标系：(图1－16、图1－17）1）定坐标系：oxyz2）随点平移坐标系：3）固联于动坐标系：ozyxoo'o2020/5/733其中：是轴挠度曲线的切线、为两正交直径ooo2020/5/734薄盘运动可以用xoz、yoz平面投影x(t)、y(t)表示。采用第二种欧拉角定义有故可以用x(t)、y(t)、φ(t)、α(t)、β(t)确定圆盘空间位置，描述运动状态。如图1－18，点的挠度x和转角α为解出盘对轴的作用力Fx和力矩Mx为：o2020/5/735式中：式中α和Mx的转向如图1－18所示。在yoz平面也有类似公式；为了使力矩矢量都沿坐标轴正方向，My与Mx的转向规定相反于是有根据质心运动定理：代入力关系式得点横向运动微分方程为：o2020/5/