[数学]第7章--FIR数字滤波器设计-窗函数设计法

2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计1第7章FIR数字滤波器设计一、前次课程内容回顾二、本次课程主要内容及重点和难点提示三、本次课程主要讲述的章节7.3窗函数设计法7.3.1基本思想7.3.2常用窗函数7.3.3设计步骤四、本次课程内容小结2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计2一、前次课程内容回顾在前次课程中，主要讲述了下面几个方面的内容：1、讨论了IIR滤波器所固有的缺陷IIR数字滤波器的设计过程中，只是对滤波器的幅频特性进行了研究，而对相频特性却没有考虑，所以IIR数字滤波器的相位特性通常是非线性的。如果要用IIR滤波器实现线性的相位特性，则必须对其相位特性用全通滤波器进行校正，其结果使得滤波器设计变得复杂，实现困难，成本提高。IIR滤波器相位校正器x(n)y(n)2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计3一、前次课程内容回顾2、列举了FIR滤波器的特点(1)给h(n)附加一定条件就可实现严格的线性相位特性；(2)FIR滤波器只有z=0处的极点，所以系统总是稳定；(3)由于h(n)为有限长，便于采用FFT进行系统运算，运算效率高；(4)FIR滤波器的阶数由h(n)的长度决定，所以一个具有良好的幅频特性的FIR滤波器的阶数往往都比较高。(5)FIR滤波器适合用于高保真度的信号处理图像处理以及数据传输语音或音频信号处理当FIR滤波器的单位脉冲响应为对称的实序列时，即其相位频率特性具有严格的线性特性。()(1)hnhNn1100()()()NNiiiihnHzhnzz2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计4一、前次课程内容回顾3、说明了FIR滤波器的设计思想和设计方法FIR滤波器的主要设计方法有：窗函数法、频率采样法、切比雪夫等波纹逼近法等。FIR滤波器的设计思想是：在保证线性相位条件的前提下，选择合适的h(n)长度N，使其传输函数满足技术指标要求。2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计5一、前次课程内容回顾4、分析了FIR滤波器线性相位的条件和特点当FIR滤波器的单位脉冲响应为对称的实序列时，其相位频率特性具有严格的线性特性，这种线性特性可保证系统无相位失真。线性相位条件为：具有线性相位特性的FIR滤波器其幅度特性与脉冲响应长度的奇偶性有关，且频域也有相应的对称性，即()(1)hnhNn()(2π)ggHH2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计6二、本次课程主要内容及重点和难点提示1、本次课程的主要内容FIR滤波器窗函数设计法的基本思想FIR滤波器常用窗函数介绍FIR滤波器窗函数设计法的设计步骤FIR滤波器窗函数设计法的MATLAB实现实例2、重点内容FIR滤波器窗函数设计法基本思想的掌握和理解FIR滤波器窗函数设计法设计步骤的掌握3、难点内容对FIR滤波器窗函数设计法基本思想的理解根据窗函数设计法的基本思想，如何利用MATLAB软件工具设计FIR滤波器2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计7三、本次课程主要讲述的章节本次课程主要讲述下列章节：7.3窗函数设计法7.3.1基本思想7.3.2常用窗函数7.3.3设计步骤2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计87.3窗函数设计法通过第6章可知IIR数字滤波器设计的主要方法是:先设计一个模拟低通滤波器，然后把它转换成相应的数字滤波器。对于FIR滤波器来说，设计方法的关键要求之一就是保证线性相位条件。而IIR滤波器的设计方法中只对幅度特性进行了设计故无法保证这一点。所以，FIR滤波器的设计需要采用完全不同的方法。FIR滤波器的设计方法主要有：窗函数法、频率采样法、切比雪夫逼近法等。2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计97.3窗函数设计法7.3.1基本思路1、窗函数设计法的提出通常希望所设计的滤波器具有理想的幅频和相频特性。理想低通滤波器的频率特性可表示如下：对应的单位脉冲响应为：式中：jjje(e)()e0cnddnHhnc　≤≤Oj(e)dHccj(e)dH()图7.10理想滤波器频率特性πjjπjj1()(e)ed2πsin()1eed2ππ()ccndcnhnHnn1(1)2N2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计107.3窗函数设计法7.3.1基本思路从前面的简单理论推导及上面的两幅图可知：所以理想低通滤波器是无法实现的。由于理想低通滤波器频率特性在边界频率处不连续，故其时域信号一定是无限时宽的，也是非因果的序列。()dhn()jwdHe2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计117.3窗函数设计法7.3.1基本思路如果要实现一个具有理想线性相位特性的滤波器，其幅频特性只能采取逼近理想幅频特性的方法实现。如何逼近理想幅频特性呢？可以把进行截取，并保证截取过程中序列保持对称，截取长度为N，对称点为。()dhn1(1)2N()()()dhnhnwn()hn若截取后序列为，则可用下式表示为：式中，为截取函数，又称窗函数。()wn2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计127.3窗函数设计法7.3.1基本思路需要说明的是：窗函数有多种形式，为保证加窗后系统的线性相位特性，必须保证加窗后的序列关于点对称。1(1)2N从截取的原理看出:若,即是矩形序列，则序列可以认为是从一个矩形窗口看到的一部分。()hn()()NwnRn()dhn()wn理想滤波器单位脉冲响应经过矩形窗函数截取后变为,且()dhn()hn()01()dhnnNhn　　≤≤0　　　　其他　　　2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计137.3窗函数设计法7.3.1基本思路2、窗函数设计法的设计思想窗函数法的设计思想是：加窗截取理想滤波器的单位脉冲响应的一段作为所要设计的滤波器的脉冲响应。显然在保证对称性的前提下，窗函数长度N越长，则越接近。但是误差是肯定存在的，这种误差称为截断误差。()hn()dhn()hn也即：用一个长度为N的序列替代作为实际设计的滤波器的的单位脉冲响应，其系统函数为：这种设计思想称为窗函数设计法。10()()NnnHzhnz()hn()dhn2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计147.3窗函数设计法7.3.1基本思路3、窗函数设计法引起的误差通常为周期为的函数，所以它的傅里叶级数形式为：j(e)dH2πjj(e)()enddnHhn由于加窗后无限长的变为有限长的，所以仅仅是的有限项傅里叶级数，两者必然产生误差，误差的最大点一定发生在不连续的边界频率点上。()hn()dhnjd(e)Hj(e)H显然，傅里叶级数项越多，和的误差就越小。但是长度越长，滤波器就越复杂，实现成本也就越大。所以应尽可能的用最小的长度设计满足技术指标要求的FIR滤波器。()hn()hnjd(e)Hj(e)H2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计157.3窗函数设计法7.3.1基本思路4、加窗后理想滤波器的特性变换分析要确定如何设计一个FIR滤波器，首先得对加窗后的理想滤波器的特性变化进行分析，并研究减少由截断引起的误差的途径，从而提出FIR滤波器的设计步骤。2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计167.3窗函数设计法7.3.1基本思路下面将以矩形窗函数为例，首先分析加窗后理想低通滤波器频率特性变换。由于：()()()dNhnhnRn若用和表示和的傅立叶变换，则：j(e)dHj(e)NR()dhn()NRnπjjjjj()π11(e)(e)*(e)(e)(e)d2π2πdNdNHHRHR(1)11jjjjj200sin(/2)(e)()eee()esin(/2)NNNnnNNNnnNRRnRsin(/2)()sin(/2)NNR上式中，称为矩形窗的幅度函数。2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计177.3窗函数设计法7.3.1基本思路由式7-30可知：所以：若用表示理想低通滤波器的幅度函数，则:()dHjj(e)()eddHH()0πcdHc1≤　　≤πjjj()ππjπ1(e)()e()ed2πe()()dπdNdNHHRHR1　　　=2ππ11()()*()()()d2π2πdNdNHHRHRj(e)Hjj(e)()eHH重写得：，则：截取后的滤波器幅度特性是理想滤波器幅度特性和矩形窗的幅度特性的卷积结果。2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计187.3窗函数设计法7.3.1基本思路上式的卷积过程如下：ππ11()()*()()()d2π2πdNdNHHRHR当时，等于图(a)与(b)两个波形的乘积积分;0(0)H2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计197.3窗函数设计法7.3.1基本思路ππ11()()*()()()d2π2πdNdNHHRHR当时，如图(d),的主瓣完全在区间内，而且最大的一个负峰已移出区间外,所以积分值取得最大峰值;c2πN()NRcc()H2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计207.3窗函数设计法7.3.1基本思路ππ11()()*()()()d2π2πdNdNHHRHR当时，如图(c),当时，积分值近似为的一半波形的积分。()NR()Hc2π/N?2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计217.3窗函数设计法7.3.1基本思路ππ11()()*()()()d2π2πdNdNHHRHR当时，如等图(e),的主瓣完全移出之外，而且最大的一个负峰还完全留在区间内，所以积分值在该点形成最大负峰。()NR()Hc2πNcc2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计227.3窗函数设计法7.3.1基本思路ππ11()()*()()()d2π2πdNdNHHRHR因此，上式积分值为前面多个图形的叠加,叠加后的波形如图(f)：()H矩形窗卷积过程演示2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计237.3窗函数设计法7.3.1基本思路通过对理想滤波器加矩形窗处理后，频率特性从变化为，表现在以下四点：()dhn()dH()H1、的最大正峰与最大负峰对应的频率之间的相距为：()H4πN4πN2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计247.3窗函数设计法7.3.1基本思路2、在理想特性的不连续点附近形成过渡带。过渡带的宽度近似等于的主瓣宽度。4πNc()NR4πN2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计257.3窗函数设计法7.3.1基本思路2πcwN3、通带内产生了波动，最大峰值出现在处，阻带内产生了余振，最大负峰出现在处。c2πNc2πN2πcwN2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计267.3窗函数设计法7.3.1基本思路4、通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度特性有关。N越大，的波动越快，通带、阻带内的波动也就越快。波动的大小取决于旁瓣的大小。()NR()NR()H2020/5/7第7章FIR数字滤波器设计277.3窗函数设计法7.3.1基本思路5、减少截断误差的途径（1）吉布斯效应通过前面的分析，我们已经知道：由于对理想滤波器加窗产生了截断效应，使得我们设计得到的滤波器频率特性与理想滤波器频率特性相比，不但产生了诸如:出现过渡带，通带、阻带产生波动，阻带衰减减小等一系列的问题。这里，就把用矩形窗截取理想滤波器后在频域产生的结果称为吉布斯效应。吉布斯效应直接影响滤波的性能，导致通带内的平稳性变差和阻带衰减不能满足技术指标。通常滤波器设计都要求过渡带越窄