中考复习：二次函数与三角形判定

二次函数与三角形判定★1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于C(0，－3)，顶点为D.(1)求抛物线表达式；(2)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过A(－1，0)、C(0，－3)，∴301ccb，解得32cb，∴抛物线表达式为y＝x2－2x－3；(2)由(1)知抛物线对称轴为x＝－b2a＝1，则设N(1，n)，易知B(3，0)，则BN＝4＋n2，NC＝231n，BC＝32，如解图，连接NC、NB，①若∠BNC＝90°，则BC2＝BN2＋NC2，即18＝4＋n2＋1＋9＋6n＋n2，∴n2＋3n－2＝0，∴解得n＝－3±172，∴N(1，2173)或N(1，2173)；②若∠NBC＝90°，则NC2＝BN2＋BC2，即1＋9＋6n＋n2＝4＋n2＋18，第1题解图∴n＝2，∴N(1，2)；③若∠NCB＝90°，则BN2＝NC2＋BC2，即4＋n2＝1＋9＋6n＋n2＋18，∴n＝－4，∴N(1，－4)．综上，当N(1，2173)或N(1，2173)或N(1，2)或N(1，－4)时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形．★2.已知抛物线y＝－x2＋2x＋m－1过原点O，与x轴的另一个交点为A，顶点为D，我们称由抛物线的顶点和与x轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”．(1)求m的值；(2)判断该“顶点△ADO”的形状，并说明理由；(3)将此抛物线平移后，经过点C(1，0)，且“顶点三角形”为等边三角形，求平移后的抛物线表达式．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋m－1经过坐标原点，∴把(0，0)代入表达式得m－1＝0，∴m＝1；(2)该“顶点△ADO”为等腰直角三角形．理由如下：如解图①，∵m＝1，∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x，变形为y＝－(x－1)2＋1，∴点D坐标为(1，1)，∴OD＝2.把y＝0代入表达式得，x1＝0，x2＝2，∴A点坐标为(2，0)，∴AD＝2，OA＝2，∴OD＝AD，OA2＝OD2＋AD2，∴∠ADO＝90°，∴△ADO为等腰直角三角形；第2题解图①第2题解图②(3)如解图②，设所求抛物线表达式为y＝－x2＋bx＋c，∵抛物线经过点C(1，0)，∴b＋c＝1①，设点D′为平移后抛物线顶点，∴D′(b2，4c＋b24)，∵tan∠D′CE＝tan60°＝4c＋b24b2－1＝3②，①②两式联立，解得b＝23＋2，c＝－23－1，(b＝2，c＝－1舍去)∴平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋(23＋2)x－1－23.★3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点E是直角△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；(3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)∵OA＝1，OC＝4，AC＝BC，∴BC＝5，∴A(－1，0)，B(4，5)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点，∴541601cbcb，解得32cb，∴抛物线表达式为y＝x2－2x－3；(2)设直线AB解析式为y＝kx＋b，直线经过点A，B两点，∴540bkbk，解得11bk，∴直线AB的解析式为：y＝x＋1，设点E的坐标为(m，m＋1)，则点F(m，m2－2m－3)，∴EF＝m＋1－m2＋2m＋3＝－m2＋3m＋4＝－(m－32)2＋254，∴当EF最大时，m＝32，∴点E(32，52)，F(32，－154)；(3)存在．①当∠FEP＝90°时，点P的纵坐标为52，即x2－2x－3＝52，解得x1＝2262，x2＝2262，∴点P1(2262，52)，P2(2262，52)，②当∠EFP＝90°时，点P的纵坐标为－154，即x2－2x－3＝－154，解得x1＝12，x2＝32(舍去)，∴点P3(12，－154)．综上所述，P1(2262，52)，P2(2262，52)，P3(12，－154)．★4.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax＋b与x轴交于A、B两点，点B坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线对称轴及点A的坐标；(2)求抛物线的表达式；(3)点M、N是抛物线上的两点(点M在N的左侧)，连接MN.若MN∥x轴，则在x轴上是否存在一点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)根据抛物线的表达式y＝ax2－2ax＋b，可知其对称轴为直线x＝－－2a2a＝1，根据点A、B关于对称轴对称，点B坐标为(3，0)，可得点A坐标为(－1，0)；(2)将点A(－1，0)、C(0，3)坐标代入抛物线表达式中有：302bbaa，解得31ba，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(3)存在．如解图，△QMN是直角三角形，直角顶点不确定，则分以下三种情况讨论：①当点Q是直角顶点时，根据等腰直角三角形的对称性可知点Q1(1，0)；②当点M或N是直角顶点时，且点M、N在x轴上方时，设点Q2(x，0)(x＜1)，∴Q1Q2＝1－x，∴MN＝2Q1Q2＝2(1－x)，∵△Q2MN为等腰直角三角形，∴y＝2(1－x)，即－x2＋2x＋3＝2(1－x)，又∵x＜1，∴解得x1＝2－5，x2＝2＋5(舍去)，∴点Q2(2－5，0)，由抛物线的对称性可知点Q3(5，0)；③若点N或点M是直角顶点，且点M、N在x轴下方时，设点Q4(x，0)(x＜1)，第4题解图∴Q1Q4＝1－x，而MN＝2Q1Q4＝2(1－x)，∵△Q4MN为等腰直角三角形，∴－y＝2(1－x)，即－(－x2＋2x＋3)＝2(1－x)，又∵x＜1，∴解得x3＝－5，x4＝5(舍去)，∴点Q4(－5，0)，由抛物线的对称性可知点Q5(5＋2，0)，∴存在点Q，分别为：Q1(1，0)、Q2(2－5，0)、Q3(5，0)、Q4(－5，0)，Q5(5＋2，0)．★5.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为B(8，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．第5题图【思维教练】(1)要求抛物线表达式由已知抛物线对称轴，利用求对称轴公式，结合点B坐标，利用待定系数法求解即可；(2)点A、点C为定点，要使△ACQ为等腰三角形，需分三种情况，讨论：①AC＝CQ，②AQ＝CQ，③AC＝AQ，求符合条件的点即可．解：(1)根据题意得，－b2a＝3，即b＝－6a，∴抛物线的表达式为y＝ax2－6ax＋4，将B(8，0)代入得，0＝64a－48a＋4，解得a＝－14，b＝32，∴抛物线的表达式为y＝－14x2＋32x＋4；(2)存在．令－14x2＋32x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)，由勾股定理得，AC＝22＋42＝25，如解图，过点C作CD⊥对称轴于点D，∵抛物线对称轴为直线x＝3，则CD＝3，D(3，4)．第5题解图当①AC＝CQ时，DQ＝CQ2－CD2＝（25）2－32＝11，点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4＋11，此时，点Q1(3，4＋11)，当点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4－11，此时点Q2(3，4－11)；②当AQ＝CQ时，点Q为对称轴与x轴的交点，AQ＝5，CQ＝32＋42＝5，此时，点Q3(3，0)；③当AC＝AQ时，∵AC＝25，点A到对称轴的距离为5，255，∴这种情形不存在．综上所述，当点Q的坐标为(3，4＋11)或(3，4－11)或(3，0)时，△ACQ为等腰三角形．