2.1.3超几何分布

学习目标1、超几何分布的概念2、超几何分布的应用：计算，分布列，综合问题1、离散型随机变量的分布列一、复习提问ξＸ1Ｘ2…Ｘｉ…ＰＰ1Ｐ2…Ｐｉ…分布列具有性质:;,2,1,0)1(ipi.1)2(21pp如果离散型随机变量X的分布列为X10Ppq期中0p1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布2、二点分布特点:随机变量X的取值只有两种可能从含有5件次品的100件产品中任取3件．问题1：这100件产品可分几类？提示：两类：次品和非次品问题2：取到的次品数X的取值有哪些？提示：0、1、2、3.问题3：求次品数X＝2的概率．提示：P(X＝2)＝C25C195C3100.1、例子引入：二、讲授新课2、超几何分布概念设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．一个离散型随机变量CmMCn－mN－MCnN1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械的记忆公式，应在理解的前提下记忆．2．凡类似“在含有次品的产品中取部分产品，求所取出的产品中次品件数的概率”的问题，都属于超几何分布的模型。3、加深理解概念：[例1]在一个口袋中装30个球，其中10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，游戏者一次从中摸出5个球，摸到球只能摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大？[思路点拨]先找出计算公式中的N、M、n再代入计算．考点分析：[练习]生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？[思路点拨]先找出计算公式中的N、M、n再代入计算．[精解详析]50箱的一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中的不合格品的箱数”，则X服从超几何分布，其中参数N＝50，M＝2，n＝5.这批产品被接收的条件是x＝0或1，所以被接收的概率为P(X≤1)＝C02C548C550＋C12C448C550＝243245.即该批产品被接收的概率是243245.[一点通]超几何分布的概率计算方法是：(1)确定所给问题中的变量服从超几何分布；(2)写出超几何分布中的参数N，M，n的值；(3)利用超几何分布公式，求出相应问题的概率．1．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于()A.27B.38C.37D.928解析：C23·C15＋C33C05C38＝27.答案：A跟踪练习（一）2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是2/7，则语文课本共有()A．2本B．3本C．4本D．5本解析：设语文书n本，则数学书有7－n本(n≥2)．则2本都是语文书的概率为C2nC07－nC27＝27，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4.答案：C[例2]一批产品共100件、其中5件次品，现从中任取10件检查，求取得的次品数X的分布列．[练习]从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数X的分布列．[思路点拨]在取出的3件产品中，次品数X服从超几何分布，其可能取值为0,1,2，对应的正品数应是3,2,1.[精解详析]由题意知X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(X＝0)＝C02C313C315＝2235，P(X＝1)＝C12C213C315＝1235，P(X＝2)＝C22C113C315＝135.所以X的分布列为X012P22351235135[一点通](1)超几何分布模型的特征是总体由较明显的两部分组成，如男生，女生；正品，次品；优，劣等．(2)在计算超几何分布模型的分布列时，可以直接代入公式P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋)，从而简化了解题过程．3．现有10张奖券，其中8张1元的、2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．解：设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18C22C310＝115.故X的分布列为X3711P715715115跟踪练习（二）4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布列；(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．解：(1)X可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P(X＝k)＝Ck2·C3－k4C36，k＝0,1,2.即P(X＝0)＝C34C36＝15，P(X＝1)＝C12C24C36＝35，P(X＝2)＝C22C14C36＝15.所以X的分布列为X012P153515(2)由(1)知，“所选3人中女生人数X≤1”的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝45.[例3](12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．[思路点拨]先确定X的取值情况，再求概率，列表写出分布列．[精解详析](1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有m(m≤3)件一等品的结果数为Cm3C3－m7，(2分)那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝Cm3C3－m7C310，m＝(4分)所以随机变量X的分布列是X0123P72421407401120(6分)(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，(8分)因为P(A1)＝C13C23C310＝340，P(A2)＝P(X＝2)＝740，P(A3)＝P(X＝3)＝1120，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝340＋740＋1120＝31120.即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为31120(12分)[一点通](1)在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个事件的意义是正确解答此类问题的关键．(2)超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可用来研究我们熟悉的抽奖或摸球游戏中的某些概率问题．在其概率的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．5．袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6的概率．解：(1)袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分X为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为N＝7，M＝4，n＝4的超几何分布，故得分也服从该超几何分布．跟踪练习（三）P(X＝5)＝C14C33C47＝435；P(X＝6)＝C24C23C47＝1835；P(X＝7)＝C34C13C47＝1235；P(X＝8)＝C44C47＝135.所以X的分布列为X5678P43518351235135(2)根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为P(X6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235＋135＝1335.6．现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为17.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率．解：(1)设甲班的学生数为M，由题意得17＝C2MC27＝MM－127×62＝MM－17×6整理得M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．即7个学生中，甲班有3人．(2)由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝k)＝Ck3C2－k4C27(k＝0,1,2)．即P(X＝0)＝C03C24C27＝621＝27，P(X＝1)＝C13C14C27＝1221＝47，P(X＝2)＝C23C04C27＝321＝17.所以X的分布列为X012P274717由分布列知P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝47＋17＝57.即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为57.2、解决超几何分布问题的关注点超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．课堂总结1、超几何分布的概念课后练习•P46练习A、B教材例2•习题2—1A、B•作业：习题2—1A4