52窗函数法设计FIR滤波器1总结

X第1页一、设计方法1、设计思想先给定理想滤波器的频响Hd(ejω)，所要求设计一个FIR的滤波器的频响为H(ejω)，使H(ejω)逼近Hd(ejω)§5-2窗函数设计法X第2页2、设计过程设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想滤波器的单位抽样响应hd(n)，然后加时间窗w(n)对hd(n)截断，以求得FIRDF的单位取样响应h(n)。)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjdd)()()(0jdNnnjjeHenheH逼近用X第3页例如，低通滤波器)(Hd0ccHd(ejω)是矩形的，则h(n)一定是无限长的且是非因果的。X第4页1、理想LF的单位抽样响应hd(n),理想低通滤波器的频响Hd(ejω)为100为群延时二、窗函数对频响的影响X第5页因为其相位，所以hd(n)是偶对称，其对称中心为α，这是因为n=时，为其最大，故α为其对称中心。hd(n)是无限长的非因果序列.cccnjnjnjjjdnnenjdedeeeHFccccc)(])sin[()(2112121)]([)()(1)(nhd)(/)(cdhX第6页加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口RN(n)看hd(n)，称RN(n)为窗口函数。)()()(nwnhnhRd10),(Nnnhd,0其他n值2、加矩形窗WR(n)=RN(n)因h(n)是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h(n)可写作2/)1N(h(n)=10,)21(])21sin[(NnNnNnccc,0n为其他值X第7页X第8页3、h(n)的频率响应h(n)的频响H(ejω)可通过傅氏变换H(ejω)=F[h(n)]求得，为了便于与hd(n)的频率响应Hd(ejω)相比较，利用卷积定理deWeHeHnwnhnhjRjdjRd)()(21)()()()()(X第9页(1)矩形窗的频响10)()]([)(NnnjRRjRenwnwFeW2/sin2sin11)21(10NeeeeNjjNjNnnj)21()(NjReW其中，为幅度函数，为相位函数。)2sin(/)2sin()(NWR)21()(NX第10页（2）理想LF的频响)21()()(NjdjdeHeH其中，为幅度函数，为相位函数。)(dHc,1c,0)21()(NX第11页X第12页（3）h(n)的频响其中，为幅度函数，为相位函数。X第13页（1）时，0ccdWdWHRR)(21)(121)0(4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程看其影响:)(Hd0cc0也就在到全部面积的积分。)(WRccX第14页（2）时，正好与的一半相重叠。这时有。c)(WR)(Hd5.0)0(/)(HHcX第15页(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。Nc2)(RW)(dH（4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。Nc/2X第16页（5）当时，随增加，左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积也随着的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故将围绕着零值而波动。Nc2)(WR)(H)(WR)(HNc/2X第17页(6)当时，的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。Nc2)(RW)(Hd)(H)0(H100.5)0(H/)(HX第18页X第19页5、几点结论（1）加窗后，改变了理想频响的边沿特性，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度（2）在过渡带两旁产生肩峰和余振(起伏振荡)，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。)(WRN4)(HX第20页（3）吉布斯（Gibbs）效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉布斯效应。)2sin(/)2Nsin()(WR)(WR)N/4()N/2()(HN增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。X第21页上图为N=8时，WR(ejω)的幅度特性。当N增加时，幅度特性的“主瓣”（ω=±2π/N间的区域）宽度减小。对于矩形窗来说，当N增加时，主瓣和旁瓣的幅度峰值都要增加，还保持每一波瓣下的面积恒定不变，所以每一波瓣的宽度随N增加而减小，呈振荡方式变化（振荡更快）。X第22页1、基本概念改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。三、各种窗函数但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制X第23页2、矩形窗时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：)()()(nwnRnwRN)21N(jRjRe)(W)e(W)2sin(/)2Nsin()(WRX第24页3、三角形（Bartlett）窗时域表达式：)(nw21Nn0,1Nn21Nn21N,1Nn221212101234X第25页频谱：)21N(j2je))2sin(])41Nsin[((1N2)e(W1N,e))2sin()4Nsin((1N2)21N(j2第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。)e(Wj4NN4N/8X第26页4、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将变形为又由于其中又考虑到，这里X第27页所以有当时，，窗谱分析可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为X第28页)(W21R)2(41NWRN4N2N2N4)(WN4N4汉宁窗是α=2时，特例)n(R)]1Nn([sin)n(N)2(41NWRX第29页5、海明窗，又称作改进升余弦窗仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣内。海明窗是下一类窗的特例)]2()2([23.0)(54.0)]12()12([23.0)(54.0NWNWWNWNWWRRRRRR)()]12cos(46.054.0[)(nRNnnWN)(WN8)54.0()()]12cos()1([)(nRNnnwNX第30页6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。)()]14cos(08.0)12cos(5.042.0[)(nRNnNnnwN)(W)]14()14([04.0)]12()12([25.0)(42.0NWNWNWNWWRRRRRN/12X第31页7、五种窗函数的比较（1）时域窗X第32页（2）各个窗的幅度函数，图中是dB表示的。00.20.40.60.81-100-80-60-40-200//Gain,dBRectangularwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200//Gain,dBHanningwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200//Gain,dBHammingwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200//Gain,dBBlackmanwindowX第33页（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）把窗函数的顶部缩窄，同时使窗函数的两端平缓的过渡到零，就可以降低旁瓣的高度，但这样做却增加了主瓣，从而加宽了过渡区。由于所用的窗函数都是对称的，所以相位是线性的。上图中，很显然矩形窗的主瓣最窄。X第34页N增大，阻带衰减不变，过渡区变小。因此，可以通过选择窗函数的形状和窗函数列长N对设计加以控制。增加窗的长度N对低通滤波器设计的影响X第35页窗函数主瓣宽度过渡带宽旁瓣峰值衰减(dB)阻带最小衰减(dB)矩形4/N1.8/N-13-21汉宁8/N6.2/N-31-44汉明8/N6.6/N-41-53布莱克曼12/N11/N-57-74几种窗函数的主要性能X第36页凯泽（Kaiser）窗上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。1、凯泽窗凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗函数。凯泽窗定义为：函数。凯泽窗定义为：1.定义X第37页其它,010,)()121(1)(020NnINnInW)(0I其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数。第一类零阶修正贝塞尔函数为.......)!3()2/()!2()2/()2/(1]!)2/([1)(26242120xxxkxxIkkX第38页0可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相当于矩形窗;)(nW通常选择，旁瓣与主瓣幅度为3.1%-0.047%；2.特点94X第39页由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,2/)1(Nn即)1()(nNwnw1)()()2/]1([)(00IINwnw3.凯泽经验公式根据滤波器的设计指标,估算出值和N值。且，)(1)1()0(0INwwX第40页)285.2/()95.7(210.0502107886.0)21(5842.050)7.8(1102.0lg2022.4.022222NAdBps阻带衰减过渡带宽X第41页β过渡带通带波纹（dB）阻带最小衰减(dB)2.1203.00π/N±0.27-303.3844.46π/N±0.08647-404.5385.86π/N±0.0274-505.6587.24π/N±0.00868-606.7648.64π/N±0.00275-707.86510.0π/N±0.000868-808.96011.4π/N±0.000275-9010.05612.8π/N±0.000087-100不同下凯泽窗的性能X第42页四、窗函数法的设计1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数基本参数表确定窗的形式及N的大小（4）最后求及（5）检验X第43页例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器，具体要求：其他并画出相应的频响特性2、设计举例X第44页解：（1）由于是一理想LF，所以可以得出（2）确定N由于相位函数，所以呈偶对称，其对称中心为，因此（3）加矩形窗则有X第45页可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心122/)1N(31831.0)12(14472.0)14()10(06022.0)16()8(0148