高数下期中考试

1高等数学（下册）期中考试汇编(2013-5-5)一、解答下列各题（70107分）1.设xyzyxxyue，求(1,2,0)dz2.设曲线为32()(,,)rrtttt，求它在对应于1t的点处的切线方程和法平面方程.3.设有球面14222zyx，求它在)1,2,3(处的切平面方程和法线方程.4.设由方程0932222zxyzyx可确定),(yxzz，求yxz2在)1,2,1(P处的值.5.设积分区域由抛物面22yxz及平面0hz所围成。求2dzv6.计算二重积分DyxId)1(22，其中D是由222ayx和axyx22及0x所围在第一象限的区域.7.计算二重积分yyxyyxyxyxyIdedded121212141.8.在圆锥面22yxhRz与)0,0(hRhz所围的锥体内作一个底面平行于xoy面的最大长方体，求此长方体的体积.9.在一个侧面为旋转抛物面224yxz的容器内装有)(cm83的水，现注入)(cm1283的水，问水面比原来升高多少？10.求向量值函数f的导数，其中.)sin(,e,cosTxxzyyxf二、设yxfzyx,e，其中具有二阶连续偏导数，求.2yxf三、讨论函数0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf在)0,0(点是否连续，是否可微.四、设是由曲面222yxaz及)0(22aayxz围成的空间立体，求对oz轴的转动惯量.zI五、设)(tf在),0[上连续，且满足方程vyxfztfd211)(222，其中是由不等式2224,0tyxhz所确定，求).(tf(2012-4-21)一．填空题（每小题5分，共20分）1．曲线2tx，2,ytzt上相应于2y的点处的切线方程是2．xyzuarctan在点)1,0,1(A处沿点A指向点)2,2,3(B方向的方向导数为3．曲面01),,(322zyxyxzyxF，在点)6,1,2(M处的切平面方程为4．若函数yxyaxxyxf22),(22在点)1,1(处取得极值，则常数a二．计算下列各题（每小题9分，共54分）21）计算dxxxedyIyxsin)1(1012）计算二重积分Ddxdyyx22sin，22224:yxD3）设),(22xyxfxz，其中f具有连续的二阶偏导数，求xz和22xz4）求椭球面123222zyx被平面0zyx截得的椭圆长半轴与短半轴之长.5．在曲面1zcybxa)0,0,0(cba上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成的体积最大，求切点的坐标.6．设函数)](1[),(22yxyfxyxF，其中)(uf二阶可导，①求yxFxF2,，②求二重积分DdxdyyxFI),(，其中D是由3,1,1yxyx围成的平面区域.三.(9分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))1）设有二元向量值函数xyyxyxf2),(22，试求f在点)1,1(处的导数与微分.2)．设),(yxfz，由0zyxxeyx所确定，求dz四．（11分）讨论函数32),(yxyxf在点)0,0(处是否连续，偏导是否存在，是否可微？五．（6分）已知)(22yxuu有连续二阶偏导数，且满足222222yxyuxu试求函数u的表达式.(2011-4-23)一、填空题（每小题5分共20分）1．函数)2sin(lne),(yxyxfx，在)0,4(点处的全微分zd.2．设22zxyu，则u在点)1,1,2(处的方向导数的最大值为.3．设有椭球面12222zyx，则它在点)21,21,21(处的切平面方程为4．设),(yxzz由方程yzzxln所确定，则22xz二．单选题（每小题5分，共20分）1．在曲线32tztytx的所有切线中，与平面42zyx平行的切线（）A．只有1条B．只有2条C．只有3条D不存在2．22201limcos()ddxyrDexyxyr（）.其中.:222ryxDA．B．1/C．1D．13．设),(yxf连续,exyyxfxI1ln0d),(d交换积分次序后为（）3A．exxyxfyI1ln0d),(dB．eeyxyxfyI10d),(dC．xexyxfyIln01d),(dD．10d),(deeyxyxfyI4．函数22222222sin2(),0(,)0,0xyxyxyfxyxy在点)0,0(处（）A．无定义B．连续C．有极限但不连续D．无极限三、（10分）设函数),(vuf可微，),(yxzz是由方程),(yzxzfxyz确定的可微函数，求,zzxy.四、（10分）讨论函数(,)||fxyxy在)0,0(处连续性、可导性、可微性.五、（10分）在曲面222:yxz上求一点),,(000zyxp，使它到平面062:zyx的距离最短.六、（10分）计算24212dsinddsind22xxxxxIxyxyyy.七、（10分）计算二重积分.4:,ddsin222222yxDyxyxD八、(4分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))(1)求向量值函数(,,)(cos,,sin())xTfxyzxyyexz的Jacobi矩阵.(2)求函数2(,2,3)zfxxyxy的梯度(f的偏导存在).九.（6分）求抛物面221zxy的一个切平面,使得它与抛物面及圆柱22(1)1xy围成的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积.(2010-5-8)一、填空题（每小题4分，共20分）1设xyzyxxyue，则)0,2,1(dz.2设tztytx23，则它在1t所对应点处的切线方程为.3设222lnzyxu，则)1,1,1(gradf.4设22zxyu，则u在点)1,1,2(处沿方向31,31,31l的方向导数为.5计算2222()dxyRxy.二、计算题（每小题7分,共63分）1求曲面122yxz在点)4,1,2(的切平面方程和法线方程.2计算221111dsindyyxxxyy.3设xyxxfz2,2，其中f具有二阶连续偏导数，求yxz2.44讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(的偏导数及可微性.5设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截线方程为2yx,现将长为l的细棒AB置于容器之中,试求细棒中点的最低位置(设1l).6(学工科数学分析者作(1),其他作(2))(1)求向量值函数T2222221),ln(),sin(zyzxyxf在点T)1,1,1(处的导数.(2)求由方程05242222zxzyx所确定的隐函数z的二阶偏导数22xz.7计算二重积分Dyxd22，其中}0,0,42|),{(22yxyxxyxD.8若二元函数),(yxz在xoy平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且DDyxzxxzxzyxxzdd2dd222，求函数),(yxz.9设函数()ft在[0,)上连续，且满足方程22224π2241()edd2txytftfxyxy,求()ft.三、讨论题（共17分）1.计算二元函数(,)zfxy在点00(,)Pxy处对x的偏导数00(,)xfxy时,可以先将0yy代入(,)fxy中,再求一元函数0(,)fxy在0x处对x的导数,即0000(,)(,)xxxdfxyfxydx,为什么?2.试通过讨论函数224(,)128fxyxxyy的极值点,来说明当点(,)xy在过000(,)Mxy的任一直线L上变动时,二元函数(,)fxy都在000(,)Mxy处取得极值,能否断定该函数在000(,)Mxy处取得极值?（2009-4-26）一、填空题（每小题3分，共15分）1．若函数yxyaxxyxf22),(22在点)1,1(处取得极值，则常数a.2．)ln(e2yxzx，沿}0,1{l方向的方向导数lz.3．曲线2tan,sin,costztytx在点)1,1,0(处的切线方程是.4．交换二次积分的积分次序（其中),(yxf为连续函数）xxyyxfxyyxfx2021010d),(dd),(d2.5．设)2,1,1(M是曲面),(yxfz上的一点，若3)1,1(xf，在任一点),(yx处有),(),(),(yxfyxyfyxxfyx，则曲面在M处的切平面方程是.二、单项选择题（每小题3分，共15分）51.函数0,00,4),(222222yxyxyxxyyxf在原点)0,0(间断的原因是),(yxf（）A.在原点无定义B.在原点极限存在但在原点无定义C.在原点极限不存在D.在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值2.函数10232),(22yxxyyxf在点)0,0(O处（）A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.不能判定是否取得极值3.设yxuarctan则)1,1(gradu（）A.21B.21C.11(,)22D.11(,)224.设)(uf是连续函数，平面区域)1|(|10:2xxyD，则Dvyxfd)(22（）A.2102210d)(dxyyxfxB.2102210d)(dyxyxfyC.1020d)(dfD.1020d)(df5.比较DyxId)(21与DyxId)(32的大小，其中22(,)|(2)(2)2Dxyxy，则（）A.21IIB.21IIC.21IID.21II三、解答题（每小题8分，共64分）1.设22lnarctanyxxyz，求xz和yxz2.2.求曲面2zyx上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。3.计算二重积分13102d1dxyyxyx.4.设yxtFDyxdde)(22sin，其中222{(,)|}Dxyxyt，求ttFt)(lim2.5.讨论函数22222222,001sin)(),(yxyxyxyxyxf在原点)0,0(处的可微性.6.设有一物体，它是由曲面22yxz和228yxz所围成，已知它在任意的点),,(zyx处的密度z，求此物体的质量m.7.(学习工科数学分析者作①，学习工科数学分析者作②)①求向量值函数22),(yxyxyxf的导数.②设函数),(yxzz由方程0),(2222zyyxF所确定.其中(,)Fuv可微，0vzF，求yzxxzy.68.设),(xyxfz，其中f具有二阶连续偏导数，求zd及yxz2.四、综合题（6分）在第一卦限内作旋转抛物面221yxz的切平面，使得该切平面与旋转抛物面)0,0(122yxyxz及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标.(2008.4.26)一.解答下列各题(每小题7分,共70分)1.设2(,)arcsin,yfxyx求(,)dfxy.2.设由方程0932222zxyzyx可确定),(yxzz