微分几何(彭家贵-陈卿)习题答案

1习题一（P13）2.设()at是向量值函数，证明：（1）a常数当且仅当(),()0atat；（2）()at的方向不变当且仅当()()0atat。（1）证明：a常数2a常数(),()atat常数(),()(),()0atatatat2(),()0atat(),()0atat。（2）注意到：()0at，所以()at的方向不变单位向量()()()atetat常向量。若单位向量()()()atetat常向量，则()0()()0etetet。反之，设()et为单位向量，若()()0etet，则()//()etet。由()et为单位向量(),()1(),()0etetetet()()etet。从而，由()//()()0()()()etetetetetet常向量。所以，()at的方向不变单位向量()()()atetat常向量()()1()()0()()0()()()atatdetetatatatdtat2111()()()()()0()()()datatatatdtatatat()()0atat。即()at的方向不变当且仅当()()0atat。补充：定理()rt平行于固定平面的充要条件是(),(),()0rtrtrt。2证明：：若()rt平行于固定平面，设n是平面的法向量，为一常向量。于是，(),0(),0,(),0rtnrtnrtn(),(),()(),(),()0rtrtrtrtrtrt共面。：若(),(),()0rtrtrt，则(),(),()rtrtrt共面。若()()0rtrt则()rt方向固定，从而平行于固定平面。若()()0rtrt，则()()()rtrtrt。令()()(),ntrtrt则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0()0()()()ntrtrtrtrtrtrtrttrttrttrtrttntntntntntntrt，又有固定的方向，又()rt平行于固定平面。3.证明性质1.1与性质1.2。性质1.1（1）证明：设11232123312323123(,,),(,,),(,,),(,,)vxxxvyyyvzzzvv，则23311223123123233112123,,,,ijkyyyyyyvvyyy123322311331221233112123123233112123233231131221212213311332332112211311,,,=(),,,,[][],[][],[wyzyzwyzyzwyzyzijkxxxxxxvvvxxx左322332223312233133112331121122311223223313311211223223313311211223223311][][][],[][],[][][],[],[][],[],[][xyzyzxzxzyxyxyzxzxzyxyxyzxzxzyxyxyzxzxzyxzxzyxzxzyxyxyzxyxyzxyxyzxzxzxz133112221122333223311133112221122333112233123223311123132123],[],[][],[],[][],,[],,,,yxzxzxzyxzxzxzyxyxyxyzxyxyxyzxyxyxyzxzxzxzyyyxyxyxyzzzvvvvvv右（2）证明：设1123212331234123(,,),(,,),(,,),(,,)vxxxvyyyvzzzv，则323311212123123233112123123322311331221233112341231232331121231233223113312,,,,,,.,,,,,,ijkxxxxxxvvxxxXXXyyyyyyyyyXxyxyXxyxyXxyxyijkzzzzzzvvzzzYYY2112341122332332233231133113122112212233223311331133112211222233223311331133.=,()()()()()()[][zwvvvvXYXYXYxyxyzwzwxyxyzwzwxyxyzwzwxzywywxzywxzxzywxzywywxzxwyzyzxwyzxwxzyw左113311221122111122223333223322331133113311221122111122223333223322331133113311221122][()][()](xwyzxwyzyzxwxyzwxyzwxyzwxzywywxzywxzxzywxzywywxzxyzwxyzwxyzwxwyzyzxwyzxwxwyzxwyzyzxwx11223311223311223311223313241423)()()()=,,zxzxzywywywxwxwxwyzyzyzvvvvvvvv右（3）证明：设112321233123(,,),(,,),(,,),vxxxvyyyvzzz，则2331121212312323311212312332231133122131231211223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ijkxxxxxxvvxxxXXXyyyyyyyyyXxyxyXxyxyXxyxyvvvvvvzXzXzXzxyxyzxyxyzxyxyzxyyzxxyz3123123123)()zyxxzyyxz同理，2331123112312323311212312332231133122123123111223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ijkzzzzzzvvzzzYYYxxxxxxxxxYzxzxYzxzxYzxzxvvvvvvyYyYyYyzxzxyzxzxyzxzxzxyyzxxyz3123123123312)(),,zyxxzyyxzvvv42331122312312323311212312332231133122112312311223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ijkyyyyyyvvyyyZZZzzzzzzzzzZyzyzZyzyzZyzyzvvvvvvxZxZxZxyzyzxyzyzxyzyzzxyyzxxyz3123123123312)(),,zyxxzyyxzvvv所以，123312231,,,,,,vvvvvvvvv。性质1.2证明：（1）()(,,)ijkffffxyzxyzfffxyz222222,,,,(0,0,0)0.ffffffyzzyzxxzxyyxffffffyzzyzxxzxyyx证明：（2）,,ijkFxyzPQR,,,RQPRQPyzzxxy2222220.RQPRQPxyzyzxzxyRQPRQPxyxzyzyxzxzy4.设123;,,Oeee是正交标架，是1,2,3的一个置换，证明：（1）(1)(2)(3);,,Oeee是正交标架；（2）123;,,Oeee与(1)(2)(3);,,Oeee定向相同当且仅当是一个偶置换。（1）证明：当ij时，()()ij()(),0ijee；当ij时，()()ij()(),1ijee，5所以，(1)(2)(3);,,Oeee是正交标架。（2）证明：A)当(12)(1)2,(2)1,(3)3(1)(2)(3)213123010010,,,,,,100,det1001;001001eeeeeeeeeB)当(13)(1)3,(2)2,(3)1(1)(2)(3)321123001001,,,,,,010,det0101;100101eeeeeeeeeC)当(23)(2)3,(3)2,(1)1(1)(2)(3)132123100100,,,,,,001,det0011;010010eeeeeeeeeD)当(1)(12)(12)，此时，(1)(2)(3);,,Oeee123;,,Oeee；E)当(123)(12)(13)(1)2,(2)3,(3)1,(1)(2)(3)231123001001,,,,,,100,det1001;010010eeeeeeeeeF)当(132)(13)(12)(1)3,(3)2,(2)1,(1)(2)(3)312123010001,,,,,,001,det1001.100010eeeeeeeee所以，123;,,Oeee与(1)(2)(3);,,Oeee定向相同当且仅当是一个偶置换。习题二（P28）1.求下列曲线的弧长与曲率：（1）2yax解：2()(,)()(1,2)rxxaxrxax2200()()14xxlxrtdtatdt6222||tan,14secatat令，则2231114=sec22||atdtdIaa32sec(sectansec)Idd3tansecsectansecsecsecddddtansecsecId1[tansecln|sectan|]2IC222212||14ln2||142atatatatC所以，2214atdt32222111=s