高等数学下册知识点总结

高等数学下册知识点二.极限性质:1.类型:*;*(含);*(含)2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:4.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:,,,,,,,,四.必备公式:1.等价无穷小:当时,;;;;;;;第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设，，则,；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：；limnnalim()xfxx0lim()xxfx0xx000,,1,,0,0,011nn1(0)1naa1()max(,,)nnnnabcabc00!naan1(0)xx0lim1xxxlim0nxxxelnlim0nxxx0limln0nxxx0,xxex()0uxsin()()uxuxtan()()uxux211cos()()2uxux()1()uxeuxln(1())()uxux(1())1()uxuxarcsin()()uxuxarctan()()uxux),,(zyxaaaa),,(zyxbbbb),,(zzyyxxbabababa),,(zyxaaaa222zyxr2）两点间的距离公式：3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4）方向余弦：5）投影：，其中为向量与的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积：1）2）2、向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）运算律：反交换律（三）曲面及其方程212212212)()()(zzyyxxBA,,rzryrxcos,cos,cos1coscoscos222cosPraajuauzyxzyxbbbaaakjiba1、曲面方程的概念：2、旋转曲面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：3、柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面4、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：4）双叶双曲面：5）椭圆抛物面：6）双曲抛物面（马鞍面）：7）椭圆柱面：8）双曲柱面：9）抛物柱面：（四）空间曲线及其方程1、一般方程：2、参数方程：，如螺旋线：3、空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影（五）平面及其方程1、点法式方程：法向量：，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：，，),,(CBAn),,(1111CBAn),,(2222CBAn4、点到平面的距离：（六）空间直线及其方程1、一般式方程：2、对称式（点向式）方程：方向向量：，过点3、参数式方程：4、两直线的夹角：，，5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21//212121CCBBAA222000CBADCzByAxdpzznyymxx000),,(pnms),,(1111pnms),,(2222pnms222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21//LL212121ppnnmm第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：，图形：3、极限：4、连续：5、偏导数：6、方向导数：其中为的方向角。7、梯度：，则。8、全微分：设，则（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAmLpCnBmA),(yxfzAyxfyxyx),(lim),(),(00),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyxyyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000coscosyfxflf),(yxfzjyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000),(yxfzdddzzzxyxy2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：2）复合函数求导：链式法则若，则，3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，①若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；②若，函数没有极值；③若，不定。uxz(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxyvyzzuzvxuxvxzzuzvyuyvy),(yxfz00yxff),(00yx),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy02BAC0A02BAC0A02BAC02BAC偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342）条件极值：求函数在条件下的极值令：———Lagrange函数解方程组2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第十章重积分（一）二重积分1、定义：2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标),(yxfz0),(yx),(),(),(yxyxfyxL0),(00yxLLyx),,(000zyxM0t)()()(000000tzzztyyytxxx),,(000zyxM),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx，，2）极坐标（二）三重积分1、定义：2、性质：3、计算：1）直角坐标-------------“先一后二”-------------“先二后一”2）柱面坐标bxaxyxyxD)()(),(2121()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyydycyxyyxD)()(),(2121()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx)()(),(21D21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydfnkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(，3）球面坐标（三）应用曲面的面积：第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：2、性质：1）2）3）在上，若，则4）(l为曲线弧L的长度)3、计算：(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrryxyzxzADdd)()(12201(,)dlim(,)niiiLifxysfs[(,)(,)]d(,)d(,)d.LLLfxyxysfxysgxys12(,)d(,)d(,)d.LLLfxysfxysfxys).(21LLLL),(),(yxgyxf(,)d(,)d.LLfxysgxys设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二）对坐标的曲线积分1、定义：设L为面内从A到B的一条有向光滑弧，函数，在L上有界，定义，.向量形式：2、性质：用表示的反向弧,则3、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，),(yxfLL)(),(),(ttytx)(),(tt],[0)()(22tt22(,)d[(),()]()()d,()LfxysftttttLLyyxQxyxPrFd),(d),(dLLLLryxFryxFd),(d),(LL):(),(),(ttytx)(),(tt],[0)()(22tt(,)d(,)d{[(),()]()[(),()]()}dLPxyxQxyyPtttQtttt)()(tytxL：L),(yx,，，则.（三）格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数在D上具有连续一阶偏导数,则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分在内与路径无关曲线积分在内为某一个函数的全微分（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、计算：———“一单二投三代入”，，则（五）对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义)()()(cos22ttt)()()(cos22tttdd(coscos)dLLPxQyPQsLDyQxPyxyPxQddddGGyPxQddLPxQyGdd0LPxQyyyxQxyxPd),(d),(G),(yxu同理，3、性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面,则4、计算：——“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“+”，为下侧取“-”.5、两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则有或SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd,,,,PQRyxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddddddSRQPzyxzRyQxPdcoscoscosddd2、通量与散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:2、环流量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线的环流量为旋度：第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：部分和：，),,(RQPAyxRxzQzyPddddddzRyQxPAdivzRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd),,(RQPAzRyQxPddd正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛